Лишок

Ли́шок (від Шаблон:Lang-fr — лишок, Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-ru) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення

Нехай функція $f(z)$ має ізольовану особливу точку $z=a$ (або регулярна у цій точці). При скінченному $a$ лишком функції $f(z)$ у точці $z=a$ називається величина

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\text{z=a}}f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-a|=\varrho }f(z)dz,$

де інтегрування проводиться по додатно орієнтованому контуру (при обході область залишається ліворуч). Оскільки $\varrho$ — будь-яке достатньо мале додатне число, а $f(z)$ — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції $f(z)$ по степеням $z-a$ в ряд Лорана є лишком цієї функції:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\text{z=a}}f(z)=C_{-1}$

Лишок у «нескінченності»

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка $z=\mathrm{\infty }$ є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції $f(z)$, тоді лишком у нескінченності називається число

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\mathrm{\infty }}f(z)=-\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=R}f(z)dz$,

де $R$ — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розкладу в околі нескінченно віддаленої точки:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\mathrm{\infty }}f(z)=-C_{-1}$

Логарифмічний лишок

Інтеграл виду

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$

називається логарифмічним лишком функції $f(z)$ відносно контуру С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C(\mathrm{L}\mathrm{n}(f(z){)}^{\prime }dz=\frac{1}{2\pi i}\mathrm{L}\mathrm{n}(f(z){)}_C=\frac{1}{2\pi i}(\ln |f(z)|+i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}f(z){)}_C=\frac{1}{2\pi }{\mathrm{\Delta }}_C\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}f(z)$

Методи обчислення лишків

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розклад в ряд Лорана, то

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\mathrm{\infty }}f(z)=-C_{-1}=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }[z(f(\mathrm{\infty })-f(z))]$

Полюс

• Простий полюс у точці $z=a$:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\text{z=a}}f(z)=\underset{z\to a}{\lim }(f(z)(z-a))$

• Полюс кратності n у точці $z=a$:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\text{z=a}}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{(n-1)}}{d{z}^{(n-1)}}[f(z)(z-a{)}^n]$

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$, і $h(a)=0,h^{\prime }(a)\ne 0$, то:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\text{z=a}}f(z)=\frac{g(a)}{h^{\prime }(a)}$

Істотно особлива точка

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розкладу в ряд Лорана. Наприклад:

$f(z)=(2z-1)\cos \frac{z}{z-1}=(2(z-1)+1)\cos (1+\frac{1}{z-1})=(2(z-1)+1)(\cos 1\cos \frac{1}{z-1}-\sin 1\sin \frac{1}{z-1})$

Розкладемо $\cos \frac{1}{z-1}$ та $\sin \frac{1}{z-1}$ в ряд Лорана:

$\cos \frac{1}{z-1}=1-\frac{1}{2!(z-1{)}^2}+\frac{1}{4!(z-1{)}^4}-...$

$\sin \frac{1}{z-1}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{3!(z-1{)}^3}+\frac{1}{5!(z-1{)}^5}-...$

Тоді після підстановки цих розкладів та зведення подібних доданків, знаходимо:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=1}=C_{-1}=-\cos 1-\sin 1$

Див. також

• Інтегральна формула Коші
• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки

Джерела

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.