Перетворення Хаусхолдера

Шаблон:Redirect Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення $H_{u}$ векторного простору $V$ , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Визначення

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором $u$ , що є ортогональним до неї; та $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ — скалярний добуток в $V$ , тоді

H_{u} (x) = x - 2 ⟨ x, u ⟩ u

— оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

H = I - 2 u u^{*} .

Матриця Хаусхолдера є ермітовою: $H = H^{*} .$
Матриця Хаусхолдера є унітарною: $H^{*} H = I .$
Отже вона є інволюцією: $H^{2} = I .$ .
Перетворення $H_{u} (x)$ відображає точку $x$ в точку $x - 2 ⟨ u, x ⟩ u .$
Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору $u$ , усі інші власні значення дорівнюють (+1).
Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстаніШаблон:Джерело?.