Поліноми Ерміта

Шаблон:Ортогональні поліноми Поліноми Ерміта (Шаблон:Lang-en) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів їх в 1864 році.

Визначення

Графіки поліномів Ерміта порядку $n=0,1,...,5$

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів $H_n(x)$,$n=0,1,...$, що задовольняють співвідношенню:
$e^{tx-\frac{t^2}{2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!}$,
з якого випливає
$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)$.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
$H_n^{*}(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x^2}\right)$.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

$H_n^{*}(x)=2^{\frac{n}{2}}{H}_n(\sqrt{2}x)$.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=x$

$H_2(x)=x^2-1$

$H_3(x)=x^3-3x$

$H_4(x)=x^4-6x^2+3$

$H_5(x)=x^5-10x^3+15x$

$H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15$

$H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x$

$H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105$

$H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945$

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд $H_n(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}\frac{(-1{)}^j}{2^j}\frac{n!}{j!(n-2j)!}{x}^{n-2j}=x^n-\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}+\frac{1}{4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}{x}^{n-4}-\dots ,$

Властивості

Поліном $H_n(x)$ містить члени лише тієї ж парності, що й саме число $n$:

$H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),n=0,1,2,\dots$.

При $x=0$ мають місце такі співвідношення:

$H_{2n}(0)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!},H_{2n+1}=0,n=0,1,2,\dots$.

Рівняння $H_n(x)=0$ має $n$ дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини $\sqrt{n(n-1)/2}$. Корені полінома $H_n(x)=0$ чергуються з коренями полінома $H_{n+1}(x)=0$.

Поліном $H_n(x)$ можна представити у вигляді визначника матриці $n\times n$:

$H_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}x& n-1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& x& n-2& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& x& n-3& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 0& \cdots & x\end{array}\right|$

Формула додавання

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

$\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2{)}^{\frac{\mu }{2}}}{\mu !}{H}_{\mu }\left[\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots a_n{x}_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}}\right]=\sum _{m_1+\cdots +m_n=\mu }\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!}{H}_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n).$

Частковими випадками такої формули є такі:

• $a_1=a_2=\cdots =a_n=1$, $x_1=x_2=\cdots =x_n$. Тоді

$n^{\frac{\mu }{2}}{H}_{\mu }(\sqrt{n}x)=\sum _{m_1+\cdots +m_n=\mu }\frac{\mu !}{m_1!\cdots m_n!}{H}_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x)$.

• $n=2$, $a_1=a_2=1$, $x_1=\sqrt{2}x,x_2=\sqrt{2}y$. Тоді

$2^{\mu }{H}_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }\frac{\mu !}{p!q!r!s!}{H}_p(x)H_q(x)H_r(x)H_s(x)$.

Диференціювання та рекурентні співвідношення

Похідна $k$-го порядку від полінома Ерміта $H_n(x)$, $n\ge k$ також є поліномом Ерміта:
$\frac{d^k}{d{x}^k}{H}_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x),$
звідки випливає співвідошення для першої похідної
$H{\text{'}}_n(x)=\frac{d{H}_n(x)}{dx}=n{H}_{n-1}(x)$
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

$H_n(x)-x{H}_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0,n\ge 2$

Ортогональність

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$ з вагою $e^{-x^2/2}$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_n(x)H_m(x)e^{-x^2/2}dx=n!\sqrt{2\pi }{\delta }_{𝑛𝑚}$,

де ${\delta }_{mn}$ — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого $p$ справедливий запис

$\frac{x^p}{p!}=\sum _{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}{H}_{p-2k}(x).$

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{H}_n(x)$, що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

$A_n=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}{a}_{n+2k},a_n=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}{A}_{n+2k}$

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

${}_1{F}_1(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}{}_2{F}_2(\frac{\alpha +n}{2},\frac{\alpha +n+1}{2};\frac{\gamma +n}{2},\frac{\gamma +n+1}{2};\frac{1}{2})H_n(x),(a,b)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)},$

де ${}_2{F}_2(a_1,a_2;b_1,b_2;x)$ — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, $\mathrm{\Gamma }(x)$ — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент $f(x)=\sum _{k=1}^p{c}_k{e}^{{\alpha }_{k}x},$ можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{H}_n(x),A_n=\frac{1}{n!}\sum _{k=1}^p{c}_k{\alpha }_k^n{e}^{\frac{{\alpha }_k^2}{2}}.$

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

$\cosh tx=e^{\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{2n}}{(2n)!}{H}_{2n}(x),\sinh tx=e^{\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}{H}_{2n+1}(x),$

$\cos tx=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}{H}_{2n}(x),\sin tx=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}{H}_{2n+1}(x),$

Повнота

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

$\sum _{i=0}^n\frac{H_i(x)H_i(y)}{i!2^i}=\frac{1}{n!2^{n+1}}\frac{H_n(y)H_{n+1}(x)-H_n(x)H_{n+1}(y)}{x-y}.$

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_n(x){\psi }_n(y)=\delta (x-y),$

де δ — дельта-функція Дірака, (ψ_n) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

$E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}^n{\psi }_n(x){\psi }_n(y)=\frac{1}{\sqrt{\pi (1-u^2)}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{1-u}{1+u}\frac{(x+y{)}^2}{4}-\frac{1+u}{1-u}\frac{(x-y{)}^2}{4}),$

яку можна еквівалентно записати так

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(x)H_n(y)}{n!}{\left(\frac{u}{2}\right)}^n=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}{\mathrm{e}}^{\frac{2u}{1+u}xy-\frac{u^2}{1-u^2}(x-y{)}^2}.$

Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R² яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

$⟨(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}^n⟨f,{\psi }_n⟩{\psi }_n),g⟩=\int \int E(x,y;u)f(x)\overline{g(y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\to \int f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x=⟨f,g⟩,$

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L²(R), тобто

$f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}⟨f,{\psi }_n⟩{\psi }_n.$

Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

$\rho \sqrt{\pi }{\mathrm{e}}^{-{\rho }^2{x}^2/4}=\int {\mathrm{e}}^{isx-s^2/{\rho }^2}\mathrm{d}s,\rho >0.$

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

$H_n(x)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\int {\mathrm{e}}^{isx-s^2/4}\mathrm{d}s)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\int (is{)}^n{\mathrm{e}}^{isx-s^2/4}\mathrm{d}s.$

З цим представленням для H_n(x) і H_n(y), можна бачити що

$\begin{array}{cc}E(x,y;u)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{2^{n}n!\sqrt{\pi }}{H}_n(x)H_n(y){\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)/2}\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^{(x^2+y^2)/2}}{4\pi \sqrt{\pi }}\int \int (\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n!}(-ust{)}^n){\mathrm{e}}^{isx+ity-s^2/4-t^2/4}\mathrm{d}s\mathrm{d}t\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^{(x^2+y^2)/2}}{4\pi \sqrt{\pi }}\int \int {\mathrm{e}}^{-ust/2}{\mathrm{e}}^{isx+ity-s^2/4-t^2/4}\mathrm{d}s\mathrm{d}t,\end{array}$

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

$s=\frac{\sigma +\tau }{\sqrt{2}},t=\frac{\sigma -\tau }{\sqrt{2}}.$

Диференціальні рівняння

Поліноми Ерміта $H_n(x)$ є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

$y^{″}(x)-x{y}^{\prime }(x)+ny(x)=0$

Якщо $n$ є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

$y(x)=A{H}_n(x)+B{h}_n(x)$,

де $A,B$ — довільні сталі, а функції $h_n(x)$ називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій $e^{x^2/2}$ та $\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{z^2/2}dz$.

Представлення

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

$H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}dz$

де $\mathrm{\Gamma }$ — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

$H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x+iy{)}^n{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy$.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

• Зв'язок з функцією Куммера:

  $H_{2n}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!}{}_1{F}_1(-n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}),H_{2n+1}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x{}_1{F}_1(-n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2})$

• Зв'язок з поліномами Лаґерра:

  $H_{2n}(x)=(-2{)}^{n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2/2),H_{2n+1}(x)=(-2{)}^{n}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2/2)$

• Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд: $g(x,t)=\exp (-t^2+2tx)=\exp (x^2)\exp [-(t-x{)}^2].$ Для цієї функції $\exp (x^2)\exp (-(1-x{)}^2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(x)}{n!}{t}^n.$ Диференціювання $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(x)}{n!}{t}^n$ разів $n$ по $t$ для лівої частини дає $\exp (x^2)\frac{{\partial }^n}{\partial t^n}\exp [-(t-x{)}^2]=\exp (x^2)(-1{)}^n\frac{{\partial }^n}{\partial x^n}\exp [-(t-x{)}^2],$ а праворуч $H_n(x)+H_{n+1}(x)t+H_{n+2}(x)t^2+...$ Вважаючи $t=0,$ $H_n(x)=(-1{)}^n\exp (x^2)\frac{d^n}{d{x}^n}\exp (-x^2),$ оскільки $\frac{\partial }{\partial t}\exp [-(t-x{)}^2]=\frac{\partial }{\partial x}\exp [-(t-x{)}^2].$ Таким чином, $n$-диференціювання по $x$ експоненційної функції $\exp (-x^2)$ приводить до поліномів Ерміта $H_n(x).$
• Рекурентне співвідношення. Продиференціюймо $g(x,t)=\exp (-t^2+2tx)=\exp (x^2)\exp [-(t-x{)}^2]$ по $t:$

$\frac{\partial g}{\partial i}=-2(t-x)g(x,t),$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(x)}{(n-1)!}{t}^{n-1}+2(t-x)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(x)}{n!}=0,$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[\frac{H_{n+1}(x)}{n!}-2x\frac{H_n(x)}{n!}+\frac{2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}]t^n=0,$

та отримаймо

$H_{n+1}(x)-2x{H}_n(x)+2n{H}_{n-1}(x)=0.$

Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння

$H_n^{\prime \prime }(x)-2x{H}_n(x)+2n{H}_n=0,n=\overline{0,1,2,...,}$

яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку $H_n^{\prime \prime }(x)+2x{H}_n^{\prime }(x)+2n{H}_n(x)=0.$

Застосування

• В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:

$(-\frac{d^2}{d{x}^2}+x^2){\psi }_n(x)={\lambda }_n{\psi }_n(x)$.

Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням ${\lambda }_n=2n+1$. Нормовані на одиницю вони записуються як

${\psi }_n(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\pi }}}{H}_n^{*}(x),n=0,1,2,\dots$.

Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта $H_n^{*}(x)$.

• Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності $u_t-u_{xx}=0$ на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції $u(x,t)=e^{\alpha x+{\alpha }^{2}t}$. Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по $\alpha$:

$e^{\alpha x+{\alpha }^{2}t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n}{n!}{P}_n(x,t)$,

то функції $P_n(x,t)$, що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові $P_n(x,t=0)=x^n$, виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:

$P_n(x,t)=(i\sqrt{2t}{)}^n{H}_n\left(\frac{x}{i\sqrt{2t}}\right)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{(x-y{)}^2}{4t}}{y}^{n}dy$.

Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

• В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих рядів Еджворта, які використовуються для наближення функції густини ймовірності через її кумулянти.

Література

• Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Зовнішні посилання

• Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en на сайті MathWorld Шаблон:Webarchive.
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews