Квантовий осцилятор

Квантовий гармонічний осцилятор  — квантовий аналог класичного гармонічного осцилятора, при цьому розглядаються не сили, що діють на цю частинку, а її гамільтоніан, тобто повну енергію гармонічного осцилятора. При цьому потенціальна енергія вважається квадратично залежною від координат (як і у випадку класичного гармонічного осцилятора), а врахування доданків у її розкладі по координаті приводить до поняття не гармонічного осцилятора. Також це є одна із найважливіших моделей квантової механіки, що має точний розв'язок. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.

Хвильові функції в координатному представленні перших шести станів, n = 0 … 5. По горизонталі відкладена координата x, а по вертикалі — значення модуля ψ. Графіки не нормовані.

Хвильові функції для перших восьми енергій, n = 0 до 7. Горизонтальна вісь — відхилення x. Графіки не нормовані.

Класичний лінійний (одновимірний) гармонічний осцилятор

В класичній фізиці функція Гамільтона для лінійного (одновимірного) гармонічного осцилятора має вигляд

$H=\frac{p_x^2}{2\mu }+\frac{\mu {\omega }_0^2}{2}{x}^2.$,

де $p_x$- імпульс частинки, $\mu$- її маса, $x$- відхилення від положення рівноваги, а ${\omega }_0$- власна циклічна частота осцилятора.

Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії $U(x)=\frac{\mu {\omega }_0^2}{2}{x}^2$ означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях — сила взаємодії прямує до нуля, а $U$ — до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора.

Лінійний (одновимірний) квантовий гармонічний осцилятор

В квантовій механіці під лінійним квантовим гармонічним осцилятором (ЛКГО) розуміють систему, яка описується оператором Гамільтона, котрий можна подати у вигляді:

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}_x^2}{2\mu }+\frac{\mu {\omega }_0^2}{2}{\hat{x}}^2.$,

де ${\hat{p}}_x$- оператор імпульсу, а $\hat{x}$ — оператор координати. Відповідно до цього гамільтоніану рівняння Шредінгера в «х — представленні» для стаціонарних (основних) станів осцилятора має вигляд:

$-\frac{h^2}{2\mu }\cdot \frac{d^2\psi }{d{x}^2}+\frac{\mu {\omega }_0^2}{2}\cdot x^2\psi =E\psi$

Для розв'язку цього рівняння можна ввести наступні безрозмірні величини:

$\xi =\frac{x}{x_0},$ $x_0=\sqrt{\frac{h}{\mu {\omega }_0}},$ $\lambda =\frac{2E}{h{\omega }_0}$

Позначаючи диференцювання по $\xi$ штрихом та розглядаючи $\psi$ як функцію $\xi$, після елементарних перетворень приводимо рівняння Шредінгера до канонічного вигляду:

${\xi }^{″}+(\lambda -{\xi }^2)\psi =0.$

Нам необхідно знайти скінченні, неперервні та однозначні розв'язки цього рівняння в інтервалі $-\propto <\xi <+\propto$. Такі розв'язки мають місце не при всіх значеннях параметра $\lambda$, а лише при: $\lambda =2n+1,n=0,1,2,3,...,$, при чому відповідні власні функції ${\psi }_n(\xi )$ дорівнюють

${\psi }_n(\xi )=e^{-\frac{{\xi }^2}{2}}{H}_n(\xi ),H_n(\xi )=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\pi }}}{e}^{{\xi }^2}\frac{d^n{e}^{-{\xi }^2}}{d{\xi }^n}$.

Тут $H_n(\xi )$ — нормовані поліноми Ерміта $n$- го порядку. При цьому, множник перед $e^{{\xi }^2}$ вибраний так, що функція ${\psi }_n(\xi )$ є нормована по $\xi$ до 1:

$\underset{-\propto }{\overset{\propto }{\int }}{\psi }_n^2(\xi )d\xi =\underset{-\propto }{\overset{\propto }{\int }}{e}^{-{\xi }^2}{H}_n^2(\xi )d\xi =1$.

Таким чином, одної вимоги неперервності та скінченності $\psi$ виявляється достатньо, щоб параметр $\lambda$ набував лише дискретних значень. Проте, оскільки цей параметр визначає енергію, тому для неї будемо мати також дискретні значення $E_n$:

$E_n=\hslash {\omega }_0(n+\frac{1}{2}),n=0,1,2,3,...$

Ця формула показує, що енергія осцилятора $E$ може приймати тільки дискретні значення. Число $n$, яке визначає номер квантового рівня, називають головним квантовим числом. Енергетичні рівні квантового осцилятора еквідистантні, тобто відстань між двома сусідніми рівнями є сталою величиною, що дорівнює $\hslash {\omega }_0$. Навіть в основному стані $n=0$ енергія осцилятора відмінна від нуля: $E_0=\hslash {\omega }_0/2$. Нарешті можна записати власну функцію, яка відповідає $n$- му значенню енергії в «$x$»- представленні у вигляді:

${\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{x_0}}{e}^{-\frac{x^2}{x_0^2}}{H}_n(x/x_0).$

Ці функції нормовані так, що $\underset{-\propto }{\overset{\propto }{\int }}{\psi }_n^2(x)dx=1$. Користуючись наведеними вище формулами можна виписати декілька власних функцій у явному вигляді:

${\psi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{x_0\sqrt{\pi }}}{e}^{-\frac{x^2}{2x_0^2}},{\psi }_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2x_0\sqrt{\pi }}}{e}^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\cdot \frac{2x}{x_0},{\psi }_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2^3{x}_0\sqrt{\pi }}}{e}^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}(4\frac{x^2}{x_0^2}-2).$

Перша функція не дорівнює нулю у всій області визначення, за виключенням граничних випадків $x=\pm \propto$. Друга функція дорівнює нулю при $x=0$. Точку, де хвильова функція дорівнює нулю, можна назвати вузлом. Третя функція дорівнює нулю при $x=\pm \frac{x_0}{\sqrt{2}}$ і має таким чином, два вузли. Тут можна відмітити, що кількість вузлів хвильової функції дорівнює її номеру $n$. Ця властивість справедлива для будь-якого значення $n$. Таким чином, квантове число дорівнює числу вузлів власної функції. Ці функції зображені на верхньому малюнку. Вигляд функцій ${\psi }_n$ аналогічний вигляду функції $U_n(x)$, який показує коливання закріпленої на кінцях струни.

Щоб отримати ще повніше уявлення про квантові стани осцилятора, можна привести нижній малюнок для потенціальної функції осцилятора

$U(x)=\frac{\mu {\omega }_0^2}{2}{x}^2$.

Вздовж осі ординат відкладено потенційна енергія, а вздовж осі абсцис — відхилення $x$.

Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператори народження ${\hat{a}}^{+}$ та знищення $\hat{a}$ як

${\hat{a}}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash \omega }}(\omega q-i\hat{p}),\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash \omega }}(\omega q+i\hat{p})$,

то гамільтоніан квантового осцилятора можна записати так:

$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2})$.

Оператори народження та знищення задовольняють комутаційному співвідношенню:

$\hat{a}{\hat{a}}^{+}-{\hat{a}}^{+}\hat{a}=1$.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

${\psi }_n=\sqrt{n!}({\hat{a}}^{+}{)}^n{\psi }_0$,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

$|n⟩=\sqrt{n!}({\hat{a}}^{+}{)}^n|0⟩$.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані $|n⟩$ призводить до переходу в стан $|n+1⟩$:

${\hat{a}}^{+}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

Оператор

$\hat{N}={\hat{a}}^{+}\hat{a}$

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

$\hat{N}|n⟩=n|n⟩$

Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою $\omega$.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Див. також

• Рівні Ландау
• Гармонічний осцилятор
• Осциляції Зенера — Блоха
• Квантовий рух в електричному полі