Стала Хінчина

Шаблон:UniboxСтала Хінчина — дійсна константа $K_0\approx 2,685452$, що дорівнює середньому геометричному елементів розкладу в ланцюговий дріб будь-якого з майже всіх дійсних чисел.

Сталу Хінчина назвали на честь Шаблон:Нп, який знайшов і довів існування цієї сталої і формулу для неї 1935 року. Позначення $K_0$Шаблон:Sfn або $K$ відповідає першій букві транслітерації прізвища «Хінчин» в європейських мовах.

Визначення

Для майже будь-якого дійсного числа $x$ елементи $a_i$ його розкладу в ланцюговий дріб мають скінченне середнє геометричне, яке не залежить від $x$Шаблон:Sfn. Ця величина і називається сталою Хінчина.

Іншими словами, якщо

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots }}}}$ ,

де $a_0$ ціле, а решта $a_i$ натуральні, то для майже всіх $x$ виконується

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(a_1{a}_2...a_n)}^{1/n}=K_0=2,6854520010\dots$ (Шаблон:OEIS).

При цьому сталу Хінчина $K_0$ можна виразити у вигляді нескінченного добутку

$K_0=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{r(r+2)})}^{{\log }_{2}r}$ .

Значимість

Розклад у ланцюговий дріб будь-якого дійсного числа — це послідовність натуральних чисел, і будь-яка послідовність натуральних чисел є розкладом у ланцюговий дріб якогось дійсного числа, що лежить між 0 і 1. Проте, якщо будь-яким чином випадково вибирати елементи послідовності натуральних чисел, то середнє геометричне елементів, взагалі кажучи, зовсім не обов'язково буде однаковим для всіх або майже всіх одержуваних послідовностей. Тому існування сталої Хінчина — та обставина, що середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб виявляється однаковим для багатьох дійсних чисел, — це фундаментальне твердження про дійсні числа та їх розклади в ланцюговий дріб, витончений і глибокий результат, один з найбільш вражаючих фактів у математиці.

Схема доведення

Тут наводиться доведення існування сталої Хінчина і формули для неї, що належить Шаблон:Нп, яке простіше від доведення Хінчина, який не використовував ергодичної теорії.

Оскільки перший елемент $a_0$ розкладу числа $x$ у ланцюговий дріб не має ніякого значення у твердженні, що доводиться, і оскільки міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то ми можемо обмежитися розглядом ірраціональних чисел на відрізку $(0,1)$, Тобто множиною $I=[0,1]\setminus \mathbb{Q}$. Ці числа мають взаємно-однозначну відповідність з ланцюговими дробами вигляду $[0;a_1,a_2,a_3\dots ]$. Введемо відображення Гаусса $T:I\to I$ :

$T([0;a_1,a_2,\dots ])=[0;a_2,a_3,\dots ]$ .

Для кожної борелівської підмножини $E$ множини $I$ також визначимо міру Гаусса — Кузьміна:

$\mu (E)=\frac{1}{\ln 2}\underset{E}{\int }\frac{dx}{1+x}$ .

тоді $\mu$ — імовірнісна міра на сигма-алгебрі борелівських підмножин $I$. Міра $\mu$ еквівалентна мірі Лебега на $I$, але володіє додатковою властивістю: перетворення $T$ зберігає міру $\mu$. Більше того, можна показати, що $T$ — ергодичне перетворення вимірюваного простору $I$, забезпеченого мірою $\mu$ (це найскладніший момент у доведенні). Тоді ергодична теорема каже, що для будь-якої $\mu$ -інтегровної функції $f$ на $I$ середнє значення $f\left(T^{k}x\right)$ — однакове майже для всіх $x$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\underset{I}{\int }fd\mu$ для майже всіх $x\in I$ за мірою $\mu$.

Вибираючи функцію $f([0;a_1,a_2,\dots ])=\ln a_1$, отримуємо:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln (a_k)=\underset{I}{\int }fd\mu =\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\ln r\frac{\ln (1+\frac{1}{r(r+2)})}{\ln 2}$

для майже всіх $[0;a_1,a_2,\dots ]$ з $I$.

Беручи експоненту від обох частин рівності, отримуємо зліва середнє геометричне перших $n$ елементів ланцюгового дробу при $n\to \mathrm{\infty }$, а праворуч — постійну Хінчина.

Розкладання в ряд

Постійна Хінчина може бути подана у вигляді ряду:

$\ln K_0=\frac{1}{\ln 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n}\sum _{k=1}^{2n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$ ,

або, розділяючи члени ряду,

$\ln K_0=\frac{1}{\ln 2}[-\sum _{k=2}^N\ln \left(\frac{k-1}{k}\right)\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n,N+1)}{n}\sum _{k=1}^{2n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}]$ ,

де $N$ — деяке фіксоване ціле число, $\zeta (s,q)$ — дзета-функція Гурвіца. Обидва ряди швидко збігаються, тому що $\zeta (n)-1$ швидко наближається до нуля зі зростанням $n$. Можна також дати розклад через дилогарифмШаблон:Sfn:

$\ln K_0=\ln 2+\frac{1}{\ln 2}[{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2\left(\frac{-1}{2}\right)+\frac{1}{2}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2\left(\frac{4}{k^2}\right)]$ .

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел

Середні геометричні від перших $n$ елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел залежно від $n$. Зелений графік відповідає числу $\sin 1$ — схоже, що він збігається до сталої Хінчина, але це не доведено. Жовтий графік відповідає описаному в тексті числу, спеціально побудованому так, щоб графік сходився до сталої Хінчина. Червоний і синій графіки відповідають числу e і числу $\sqrt{31}$, Відповідно; вони не збігаються до сталої Хінчина.

Хоча середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб дорівнює $K_0$ для майже всіх чисел, але це не доведено практично для жодного конкретного числа $x$, крім тих, які спеціально сконструйовані так, щоб задовольняти цьому твердженню. Таке число можна побудувати, задаючи відразу елементи його розкладу в ланцюговий дріб, наприклад, так: будь-яке скінченне число елементів на початку ніяк не вплинуть на граничне значення середнього геометричного, тому їх можна взяти будь-якими (наприклад, можна взяти перші 60 елементів рівними 4); кожний наступний елемент береться рівним 2 або 3, залежно від того, більше чи менше від постійної Хінчина середнє геометричне всіх попередніх елементів. Для даного конкретного прикладу, проте, не виконується статистика Гаусса — Кузьміна.

До чисел $x$, про які відомо, що середнє геометричне елементів їх розкладу в ланцюговий дріб не може дорівнювати сталій Хінчина, відносяться раціональні числа, квадратичні ірраціональності (корені всіх квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами) і основа натурального логарифма $e$. Хоча раціональних чисел і квадратичних ірраціональностей нескінченно багато, але вони утворюють множину міри нуль, і тому їх не потрібно включати до «майже всіх» чисел з визначення сталої Хінчина.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб деяких чисел, схоже (виходячи з безпосередніх обчислень середніх для великих $n$), збігається до сталої Хінчина, хоча в жодному з цих випадків рівність в границі не доведена. Зокрема, до цих чисел відносяться число π, стала Ейлера — Маскероні, число $\sin 1$, $\sqrt[3]{2}$, сама стала Хінчина. Остання обставина дозволяє припустити, що стала Хінчина ірраціональна, але точно невідомо, чи є стала Хінчина раціональним, алгебраїчним чи трансцендентним числом.

Середні степеневі

Можна розглядати сталу Хінчина як окремий випадок середнього степеневого елементів розкладу чисел у ланцюговий дріб. Для будь-якої послідовності $\{a_n\}$ середнє степеня $p$ дорівнює

$K_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right]}^{1/p}$ .

Якщо $\{a_n\}$ — елементи розкладу числа $x$ у ланцюговий дріб, то $K_p$ для будь-якого $p<1$ і майже всіх $x$ задаються формулою

$K_p={[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}-k^p{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2})]}^{1/p}$ .

Вона отримується обчисленням відповідного степеневого середнього за статистикою Гаусса — Кузьміна і відповідає вибору функції $f([0;a_1,a_2,\dots ])=a_1^p$ у вищевикладеному доведенніШаблон:Sfn. Можна показати, що значення $K_0$ виходить в границі $p\to 0$.

Зокрема, можна отримати середнє гармонійне елементів розкладу в ланцюговий дріб. Це число дорівнює

$K_{-1}=1,74540566240\dots$ (Шаблон:OEIS)

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья Шаблон:MR.

Посилання

• 1000000 знаків сталої Хінчина після коми на сайті факультету математики Барселонського університету