Середнє степеневе

Сере́днє сте́пеня p (середнє степеневе, узагальнене середнє) — узагальнення середнього арифметичного, середнього геометричного, середнього квадратичного, середнього гармонійного.

Означення

Якщо $p$ — дійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня $p$ для будь-яких додатних чисел $x_1,\dots ,x_n$ як:

$M_p(x_1,\dots ,x_n)={(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i^p)}^{1/p}.$

Через граничний перехід довизначаються такі величини:

$M_0(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$

$M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$

$M_{+\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$

Окремі випадки

Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.

$M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$   — середнє гармонійне (HM),

$M_0(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$   — середнє геометричне (GM),

$M_1(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$   — середнє арифметичне (AM),

$M_2(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$   — середнє квадратичне (RMS).

Нерівності

• Якщо $p<q$, тоді $M_p(x_1,\dots ,x_n)⩽M_q(x_1,\dots ,x_n)$, і рівність наступає тільки при $x_1=x_2=\dots =x_n$.

Це випливає з того, що $\mathrm{\forall }p\in ℝ:\frac{\partial M_p(x_1,\dots ,x_n)}{\partial p}⩾0$, що може бути доведено за допомогою нерівності Єнсена.

• Окремим випадком попередньої нерівності є:

$\min \{x_1,\dots ,x_n\}⩽\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}⩽{(x_1\cdot \dots \cdot x_n)}^{1/n}⩽\frac{x_1+\dots +x_n}{n}⩽\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}⩽\max \{x_1,\dots ,x_n\}.$

Див. також

• Середнє степеневе зважене
• Квазі-арифметичне середнє
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Беккенбах.Беллман