Симплектична група

Шаблон:Теорія груп В математиці симплектичною групою називають групу симплектичних відображень чи еквівалентно симплектичних матриць на симплектичному векторному просторі над деяким полем. У випадку поля комплексних чисел так також називають певні компактні підгрупи груп симплектичних матриць (інші назви цієї групи — унітарні чи компактні симплектичні групи).

Симплектичні групи є прикладами так званих класичних груп. Вони мають широке застосування у геометрії, фізиці, теорії груп Лі (зокрема компактні симплектичні групи є однією з чотирьох нескінченних послідовностей груп, які разом з п'ятьма винятковими групами є основою для класифікації всіх компактних груп Лі).

Означення

В загальному випадку симплектичною групою для модуля $E$ з заданою на ньому симплектичною (кососиметричною і білінійною) формою над комутативним кільцем $K$ називається група автоморфізмів, що не змінюють дану симетричну форму.

Особливе значення має випадок, коли $K$ є полем і $\omega$ — невиродженою симплектичною формою. Тоді група лінійних перетворень породжується лінійними перетвореннями $A_{\alpha ,y}$, що рівні $A_{\alpha ,y}(x)=x+\alpha \omega (y,x)x.$ Кожне з цих перетворень очевидно зберігає значення симплектичної форми.

Еквівалентно симплектичну групу порядку 2n можна означити як групу матриць, що задовольняють умову $M^{\text{T}}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega },$ де $\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right].$

Симплектичну групу порядку 2n над полем $K$ позначають $\mathrm{Sp}(2n,K)$ або іноді $\mathrm{Sp}(n,K).$ В даній статті використовуватиметься перше позначення.

Властивості

• Визначники всіх симплектичних матриць рівні 1, тобто симплектична група є підгрупою спеціальної лінійної групи.
• Центром групи $\mathrm{Sp}(2n,K)$ для полів характеристики 2 є матриця $I_{2n},$ а для інших полів центр складається з матриць $I_{2n}$ і $-I_{2n}.$ Факторгрупа $\mathrm{PSp}(2n,K)=\mathrm{Sp}(2n,K)/Z$ по центру групи називається проективною симплектичною групою. Ці групи є простими окрім груп $\mathrm{PSp}(2,{𝔽}_2),\mathrm{PSp}(4,{𝔽}_2),\mathrm{PSp}(2,{𝔽}_3),$ де ${𝔽}_q$ —поле p q елементів.
• Порядок групи $\mathrm{Sp}(2n,{𝔽}_q)$ рівний

$q^{n^2}(q^2-1)\cdots (q^{2n-2}-1)(q^{2n}-1).$

• Алгебра Лі групи $\mathrm{Sp}(2n,K)$ (як алгебраїчної групи) є алгебра матриць $M$, для яких виконується рівність:

$\mathrm{\Omega }M+M^{\mathrm{T}}\mathrm{\Omega }=0,$ де $\mathrm{\Omega }$ — матриця описана вище. Еквівалентно матриці з цієї алгебри Лі це матриці, які можна записати у блочному виді:

$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& -A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$

де всі блоки є квадратними матрицями порядку n і Шаблон:Math і Шаблон:Math є симетричними матрицями.

Дійсні комплексні симплектичні групи Лі

Серед усіх симплектичних груп особливе значення мають групи $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$ симплектичних груп над полем дійсних чисел і $\mathrm{Sp}(2n,ℂ)$ симплектичних груп над полем комплексних чисел. Усі ці групи для довільних порядків є групами Лі. Вони задовольняють таким властивостям:

• $\mathrm{Sp}(2n,ℂ)$ є простою групою Лі (зокрема її алгебра Лі є простою), однозв'язною, некомпактною. Її розмірність як комплексного многовида рівна n(2n + 1), розмірність як дійсного аналітичного многовида відповідно 2n(2n + 1).
• Алгебри Лі комплексних симплектичних груп, що позначаються $𝔰𝔭(2n,ℂ)$ утворюють нескінченну послідовність простих алгебр Лі, що є однією з чотирьох нескінченних серій простих алгебр Лі, що разом з п'ятьма виключними алгебрами Лі вичерпують множину всіх простих алгебр Лі.
• $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$ є простою некомпактною зв'язаною але не однозв'язною групою Лі.
• $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$ має тип гомотопії групи $S^1\times \mathrm{SU}(n)$ тож її фундаментальна група рівна ${\pi }_1(\mathrm{Sp}(2n,ℝ))\cong \mathbb{Z}.$
• Алгебра Лі $𝔰𝔭(2n,ℝ)$ є дійсною формою алгебри Лі $𝔰𝔭(2n,ℂ)$ тобто комплексифікація алгебри $𝔰𝔭(2n,ℝ)$ рівна $𝔰𝔭(2n,ℂ).$
• Як многовид $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$ є дифеоморфним добутку $\mathrm{U}(n)\times {ℝ}^{n(n+1)}.$
• Довільний елемент групи $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$ є добутком двох елементів, що є образами експоненти, тобто

$\mathrm{\forall }S\in \mathrm{Sp}(2n,ℝ)\mathrm{\exists }X,Y\in 𝔰𝔭(2n,ℝ):S=e^X{e}^Y.$

Групи Sp(p,q)

Окрім групи $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$ іншими дійсними формами групи $\mathrm{Sp}(2n,ℂ)$ (тобто підгрупами комплексифікація алгебр Лі для яких є рівною $𝔰𝔭(2n,ℂ)$) є групи, що позначаються $\mathrm{Sp}(p,q)$ де $p,q\in \mathbb{N}\cup \{0\},p+q=n.$

Елементами групи $\mathrm{Sp}(p,q)$ є матриці з $\mathrm{Sp}(2n,ℂ)$, що залишають незмінними ермітові форми виду $\sum _{i=1}^{2n}{ϵ}_i{z}_i{\overline{z}}_i,$ де ${ϵ}_i$ є рівним 1 для $1⩽i⩽p$ або $n+1⩽i⩽n+p$ і ${ϵ}_i$ є рівним -1 для всіх інших значень i.

Група $\mathrm{Sp}(p,q)$ є ізоморфною групі лінійних перетворень векторного простору ${ℍ}^n$ (де $n=p+q$) над тілом кватерніонів $ℍ,$ що зберігають незмінною кватерніонну ермітову форму, тобто форму виду:

$(x,y)=\sum _{i=1}^p{x}_i{\overline{y}}_i-\sum _{i=p+1}^n{x}_i{\overline{y}}_i,$ де $x_i,y_i,$— координати векторів кватерніонів, а риска зверху означає спряження в тілі кватерніонів.

Група Sp(n)

Серед груп $\mathrm{Sp}(p,q)$ найважливішими є групи $\mathrm{Sp}(0,n)$, які переважно позначають $\mathrm{Sp}(n).$ Ці групи теж часто називають симплектичними, хоча вони не є такими згідно означення даного вище. Вони мають наступні властивості

• $\mathrm{Sp}(n)\cong \mathrm{U}(2n)\cap \mathrm{Sp}(2n,ℂ),$ тому для $\mathrm{Sp}(n)$ часто також використовується позначення $\mathrm{USp}(2n,ℂ).$
• В тих же позначеннях, що і вище група $\mathrm{Sp}(n)$ є ізоморфною групі лінійних перетворень кватерніонного векторного простору, що зберігають незмінними ермітові форми $(x,y)=\sum _{i=p+1}^n{x}_i{\overline{y}}_i,$ тобто $\mathrm{Sp}(n)\cong \mathrm{U}(n,ℍ).$
• $\mathrm{Sp}(n)$ є компактною однозв'язною простою дійсною групою Лі, розмірність якої рівна n(2n + 1). Її алгебра Лі є єдиною компактною дійсною формою алгебри $𝔰𝔭(2n,ℂ).$ Якщо розглядати $\mathrm{Sp}(n)$ як групу кватерніонних унітарних матриць, то її алгебра Лі є алгеброю кватерніонних матриць для яких виконуються умови $A+A^{†}=0$ де $A^{†}$ — матриця отримана транспонуванням і кватерніонним спряженням. Дужками Лі при цьому є комутатор матриць
• Групи $\mathrm{Sp}(n)$ утворюють одну з чотирьох нескінченних серій компактних простих однозв'язних груп Лі, які є ключовими для класифікації всіх компактних груп Лі.
• Як дійсний многовид $\mathrm{Sp}(2n,ℂ)$ є дифеоморфним добутку $\mathrm{Sp}(n)\times {ℝ}^{n(2n+1)}.$

Основні властивості груп $\mathrm{Sp}(2n,ℝ)$, $\mathrm{Sp}(2n,ℂ)$ і $\mathrm{Sp}(n)$ подані у таблиці нижче:

	Матриці	Група Лі	Dim/ℝ	Dim/ℂ	Компактність	π1
Sp(2n,ℝ)	ℝ	дійсна	n(2n + 1)	–		ℤ
Sp(2n,ℂ)	ℂ	комплексна	2n(2n + 1)	n(2n + 1)		1
Sp(n)	ℍ	дійсна	n(2n + 1)	–	x	1

Див. також

• Симплектична матриця

Посилання

• "Symplectic group" Шаблон:Webarchive, Encyclopedia of Mathematics

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation