Ряд Ліувілля — Неймана

Ряд Ліуві́лля — Не́ймана в інтегральному численні — нескінченний ряд, що відповідає розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма з неперервним малим ядром. Названий за іменами Жозефа Ліувілля і Карла Неймана.

Отримання ряду

Шукатимемо розв'язок рівняння Фредгольма

$u(x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)u(y)dy+f(x)$

методом послідовних наближень, поклавши $u^{(0)}(x)=f(x)$:

$u^{(p)}(x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)u^{(p-1)}(y)dy+f(x)=\lambda (K{u}^{(p-1)})(x)+f(x),p=1,2,\dots$

Останній вираз у формулі є операторним записом інтеграла. Методом математичної індукції перевіряється така рівність:

$u^{(p)}=\sum _{k=0}^p{\lambda }^k(K^{k}f)(x),p=0,1,\dots$

Функція $(K^{p}f)(x)$ називають ітераціями. Можна показати, що всі ітерації неперервні й обмежені на $G$:

$\Vert K^{p}f{\Vert }_C=\Vert K(K^{p-1}f){\Vert }_C⩽M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G\Vert K^{p-1}f{\Vert }_C⩽\dots ⩽(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G{)}^p\Vert f{\Vert }_C,p=0,1,\dots ,$

де $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G$ — міра множини $G$, а $M=\underset{G}{\max }|K(x,y)|$.

З цієї оцінки випливає, що ряд

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^k(K^{k}f)(x),x\in G,$

називаний рядом Ліувілля — Неймана, мажорується числовим рядом

$\Vert f{\Vert }_C\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\lambda {|}^k(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G{)}^k=\frac{\Vert f{\Vert }_C}{1-|\lambda |M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G},$

який збігається в крузі $|\lambda |<1/(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G)$, тому за таких $\lambda$ ряд Ліувілля — Неймана збігається регулярно (абсолютно і рівномірно). Це означає, що послідовні наближення $u^{(p)}(x)$ при $p\to \mathrm{\infty }$ рівномірно прямують до шуканої функції $u(x)$.

Див. також

• Резольвента інтегрального рівняння
• Ряд Неймана

Література

• Шаблон:Книга

Посилання

• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, Шаблон:Isbn
• Шаблон:Citation