Ряд Неймана

Ряд Неймана — це ряд вигляду

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n,$

де $T$ — це деякий оператор. У цьому випадку $T^n$ означає суперпозицію з $n$ однакових операторів $T$. Якщо ж $T$ — елемент кільця, то $T^n$ означатиме $n$-й степінь елемента $T$.

Ряд Неймана є узагальненням поняття суми геометричної прогресії.

Основною властивістю ряду Неймана є те, що

$(I-T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n,$

де $I$ — одиничний елемент. У випадку операторів для цього достатньо того, щоб лінійний обмежений оператор $T$, що діє в банаховому просторі $X$, мав норму або спектральний радіус, менший від одиниці. Так, у разі матриць цей ряд дозволяє обернути матрицю вигляду $I-F$, де ${\lambda }_{max}(F)<1$ — найбільше власне значення матриці $F$.

У разі кільця з одиницею конструкція, аналогічна ряду Неймана, дозволяє обертати елементи вигляду $1-p$, де $p$ — нільпотент. У цьому випадку ряд Неймана набуває вигляду скінченної суми

$\sum _{n=0}^{m-1}{p}^n,$

де $m$ — індекс нільпотента $p$.

Див. також

• Ряд Ліувілля — Неймана