Розклад Жордана — Шевальє

Розкладом Жордана — Шевальє у лінійній алгебрі називається розклад лінійного ендоморфізму скінченновимірного простору (чи, еквівалентно, матриці цього перетворення для деякого вибраного базису простору) як суми чи, у випадку автоморфізмів, добутку простіших складових, а саме напівпростих, нільпотентних чи, у випадку автоморфізмів, уніпотентних операторів. Розклад Жордана — Шевальє особливо легко отримати для матриць записаних у жордановій нормальній формі.

Більш загально означення даного розкладу можна поширити на випадок так званих локально скінченних ендоморфізмів векторних просторів. Цей факт, а також те, що компоненти розкладу є многочленами від ендоморфізму робить розклад Жордана — Шевальє важливим інструментом у теорії лінійних алгебричних груп.

Означення

Адитивний розклад Жордана — Шевальє

Адитивний розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму $g$ скінченновимірного векторного простору — запис цього ендоморфізму у вигляді суми напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів, що комутують між собою: $g = g_{s} + g_{n}$ . Ендоморфізми $g_{s}$ і $g_{n}$ називаються відповідно напівпростою і нільпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє ендоморфізму $g$ .

Якщо в деякому базисі простору матриця $(a_{i j})$ ендоморфізму $g$ є жордановою матрицею, а $t$ — такий ендоморфізм, що в тому ж базисі його матриця має вигляд $(b_{i j})$ , де $b_{i j} = 0$ при всіх $i \neq j$ і $b_{i i} = a_{i i}$ для всіх $i$ , то розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму матиме вигляд $g = t + (g - t)$ , тобто $g_{s} = t$ і $g_{n} = g - t$ .

Мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє

Якщо $g$ — автоморфізм простору $V$ , то $g_{s}$ — також автоморфізм $V$ і $g = g_{s} g_{u} = g_{u} g_{s}$ де $g_{u} = 1_{V} + g_{s}^{- 1} g_{n}$ і $1_{V}$ позначає тотожний автоморфізм простору $V$ . Автоморфізм $g_{u}$ є уніпотентним, тобто всі його власні значення дорівнюють одиниці. Будь-яке представлення автоморфізму $g$ у вигляді добутку комутуючих напівпростого і уніпотентного автоморфізмів збігається з описаним поданням $g = g_{s} g_{u} = g_{u} g_{s}$ . Воно називається мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє автоморфізму $g$ , a $g_{s}$ і $g_{u}$ — напівпростою і уніпотентною компонентою автоморфізму $g$ .

Властивості

Для будь-якого ендоморфізму $g$ векторного простору $V$ над алгебрично замкнутим полем $K$ (і, більш загально, над довільним досконалим полем) розклад Жордана — Шевальє існує і є єдиним.
Для напівпростої і нільпотентної компоненти ендоморфізму $g$ справедливими є рівності $g_{s} = P (g)$ і $g_{n} = Q (g)$ для деяких многочленів $P$ і $Q$ над полем $K$ з нульовими вільними членами.

Нехай

a_{i}

— різні власні значення автоморфізму

g

із алгебричною кратністю. Тоді характеристичний многочлен ендоморфізму можна записати як

S (x) = \prod (x - a_{i})^{n_{i}}

.

Позначимо також

V_{i} = {v \in V : (g - a_{i} I)_{i}^{n} v = 0}

. Підпростори

V_{i}

є стабільними щодо ендоморфізму

g

і весь простір є їх прямою сумою, що легко можна побачити перевівши матрицю перетворення до жорданової нормальної форми.

Згідно з китайською теоремою про залишки для многочленів, існує многочлен

P \in K [x]

, для якого:

P (x) \equiv 0 (\mod x), P (x) \equiv a_{i} (\mod (x - a_{i})^{n_{i}}), \forall i

.

Позначимо

g_{s} = P (g)

. Тоді для

v \in V_{i}

отримуємо

g_{s} v = (a_{i} I + P_{i} (g) (g - a_{i} I)_{i}^{n}) v = a_{i} v

. Тому

V_{i}

є власним простором для власного вектора

a_{i}

і загалом для ендоморфізму існує базис із власних векторів. Тобто

g_{s}

є напівпростим і рівний многочлену від

g

з нульовим вільним членом. Також вибравши базис при якому матриця

g

має жорданову нормальну форму отримуємо, що матриця

g_{s}

є діагональною із діагоналлю рівною діагоналі матриці

g

. Тому

g - g_{s}

є жордановою матрицею з нульовою діагоналлю і тому нільпотентною. Отож

g_{n} = g - g_{s}

буде нільпотентним оператором і також можна взяти

Q (x) = x - P (x)

. Таким чином отримані напівпрості і нільпотентні компоненти і відповідні многочлени. Оскільки

g_{n}

і

g_{s}

є многочленами від

g

то вони комутують між собою.

Для доведення єдиності розкладу припустимо, що

g = g_{s} + g_{n} = h_{s} + h_{n}

. Оскільки всі ендоморфізми

g_{s}, g_{n}, h_{s}, h_{n}

є многочленами від

g

то вони комутують між собою. Звідси

g_{s} - h_{s} = g_{n} - h_{n}

є одночосно напівпростим і нільпотентним оператором, тобто рівним нулю, що завершує доведення єдиності.

Якщо $W$ — підпростір у $V$ інваріантний щодо $g$ , то $W$ є інваріантним також і щодо $g_{s}$ і $g_{n}$ , і до того ж $g |_{W} = g_{s} |_{W} + g_{n} |_{W}$ є розкладом Жордана — Шевальє для $g |_{W}$ (тут $g |_{W}$ позначає обмеження ендоморфізму на підпростір $W$ ). Якщо $g$ є автоморфізмом, то $W$ є інваріантним також і щодо $g_{u}$ і $g |_{W} = g_{s} |_{W} g_{u} |_{W}$ — мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє автоморфізму $g |_{W}$ .
Якщо $k$ — підполе в $K$ і $g$ є раціональним над $k$ (щодо деякої $k$ -структури на $V$ ), то $g_{s}$ і $g_{n}$ не будуть, взагалі кажучи, раціональними над $k$ ; можна лише стверджувати, що $g_{s}$ і $g_{n}$ є раціональними над полем $k^{p^{- \infty}}$ , де , $p$ — характеристична експонента поля $k$ (для полів характеристики 0 $k^{p^{- \infty}}$ є рівним полю $k$ , в іншому випадку — це множина всіх елементів з $K$ , що є чисто несепарабельними над $k$ ).
Якщо $g$ є раціональним автоморфізмом над $k$ , то $g_{s}$ і $g_{u}$ є раціональними над $k$ .
Якщо $g h = h g, g, h \in End (V)$ , то $(g + h)_{s} = g_{s} + h_{s}, (g + h)_{n} = g_{n} + h_{n}$ .
Якщо $g h = h g, g, h \in GL (V)$ , то $(g h)_{s} = g_{s} h_{s}, (g h)_{u} = g_{u} h_{u}$ .
Якщо $g = g_{s} g_{u}$ і $h = h_{s} h_{u}$ — розклади Жордана — Шевальє, то $g \oplus h = (g_{s} \oplus h_{s}) (g_{u} \oplus h_{u})$ і $g \otimes h = (g_{s} \otimes h_{s}) (g_{u} \otimes h_{u})$ є розкладами Жордана — Шевальє відповідних лінійних відображень.

Локально скінченні ендоморфізми

Поняття розкладу Жордана — Шевальє може бути узагальнене на локально скінченні ендоморфізми нескінченновимірного векторного простору $V$ , тобто ендоморфізми $g$ , що $V$ породжується скінченновимірними $g$ -інваріантними підпросторами. Для $g$ є справедливими твердження про існування і єдиність подання у вигляді суми $g_{s} + g_{n}$ (а для автоморфізмів також у вигляді добутку $g_{s} g_{u}$ ), комутуючих локально скінченних напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів (відповідно напівпростого і уніпотентного автоморфізмів), тобто таких ендоморфізмів, що будь-який скінченновимірний $g$ -інваріантний підпростір $W$ у $V$ є інваріантним щодо $g_{s}$ і $g_{n}$ (відповідно $g_{s}$ і $g_{u}$ ) $g |_{W} = g_{s} |_{W} + g_{n} |_{W}$ (відповідно $g |_{W} = g_{s} |_{W} g_{u} |_{W}$ ) є розкладом Жордана — Шевальє для $g |_{W}$ .

Лінійні алгебричні групи і алгебри Лі

Зазначене розширення поняття розкладу Жордана — Шевальє на локально скінченні ендоморфізми дозволяє ввести означення розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебричних алгебрах Лі. Нехай $G$ — лінійна алгебрична група над $K$ , $𝔤$ — її алгебра Лі, $ρ$ — представлення $G$ в групі автоморфізмів алгебри $K [G]$ регулярних функцій на $G$ , задане правими зсувами, і $d ρ$ — його диференціал. Для будь-яких $g \in G$ і $X \in 𝔤$ ендоморфізми $ρ (g)$ і $d ρ (X)$ векторного простору $K [G]$ є локально скінченними, тому можна говорити про їх розклад Жордана — Шевальє: $ρ (g) = ρ (g)_{s} ρ (g)_{u}$ і $d ρ (X) = d ρ (X)_{s} + d ρ (X)_{n}$ .

Один з важливих результатів теорії алгебричних груп полягає в тому, що зазначені розклади Жордана — Шевальє реалізуються за допомогою елементів з $G$ і $𝔤$ відповідно. Точніше, існують однозначно визначені елементи $g_{s}, g_{u} \in G$ і $X_{s}, X_{n} \in 𝔤$ такі, що

g = g_{s} g_{u} = g_{u} g_{s}, X = X_{s} + X_{n}, [X_{s}, X_{n}] = 0

і для цих елементів:

ρ (g_{s}) = ρ (g)_{s}, ρ (g_{u}) = ρ (g)_{u}

d ρ (X_{s}) = d ρ (X)_{s}, d ρ (X_{n}) = d ρ (X)_{n}

.

Ці розклади називаються відповідно розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній групі $G$ і розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній алгебри Лі $𝔤$ .

Якщо $G$ є визначеною над підполем $k$ поля $K$ і елемент $g \in G$ (відповідно $X \in 𝔤$ ) є раціональним над $k$ , то $g_{s}, g_{u}$ (відповідно $X_{s}, X_{n}$ ) є раціональними над $k^{p^{- \infty}}$ .

Якщо група $G$ реалізована як замкнута підгрупа загальної лінійної групи $G L (V)$ автоморфізмів деякого скінченновимірного векторного простору $V$ [і, отже, $𝔤$ реалізується як підалгебра в алгебрі Лі групи $G L (V)$ ), то розклад Жордана — Шевальє для елемента $g \in G$ збігається з введеним вище мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє для $g$ як автоморфізму простору $V$ , а розклад $X \in 𝔤$ як елемента алгебри Лі з адитивним розклад Жордана — Шевальє для $X$ , як ендоморфізму простору $V$ .

Якщо $φ$ — раціональний гомоморфізм афінних алгебричних груп і $d φ$ — відповідний гомоморфізм їх алгебр Лі, то

φ (g_{s}) = φ (g)_{s}, φ (g_{u}) = φ (g)_{u}

d φ (X_{s}) = d φ (X)_{s}, d φ (X_{n}) = d φ (X)_{n}

для будь-яких $g \in G, X \in 𝔤$ .

Поняття розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебрах Лі дозволяє ввести означення напівпростого, уніпотентного (відповідно нільпотентного) елементів в довільній афінній алгебричній групі (відповідно алгебричній алгебрі Лі). Елемент $g \in G$ називається напівпростим, якщо $g = g_{s}$ , і уніпотентним, якщо $g = g_{u}$ . Елемент $X \in 𝔤$ називається напівпростим, якщо $X = X_{s}$ і нільпотентним, якщо $X = X_{n}$ .

Нехай $G$ визначена над $k$ , тоді $G_{u} = {g \in G : g = g_{u}}$ є $k$ -замкнутою підмножиною в $G$ , а $𝔤_{n} = {X \in 𝔤 : X = X_{n}}$ — $k$ -замкнутою підмножиною в $𝔤$ .

У загальному випадку $G_{s} = {g \in G : g = g_{s}}$ не є замкнутим множиною, але якщо $G$ є комутативною, то $G_{s}$ і $G_{u}$ є замкнутими підгрупами і $G = G_{s} \times G_{u}$ . Множини $G_{s}$ і $G_{u}$ в довільній афінній алгебричній групі інваріантні щодо внутрішніх автоморфізмів.

Див. також

Література

Розклад Жордана — Шевальє

Зміст

Означення

Адитивний розклад Жордана — Шевальє

Мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє

Властивості

Локально скінченні ендоморфізми

Лінійні алгебричні групи і алгебри Лі

Див. також

Література

Навігаційне меню

Розклад Жордана — Шевальє

Означення

Адитивний розклад Жордана — Шевальє

Мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє

Властивості

Локально скінченні ендоморфізми

Лінійні алгебричні групи і алгебри Лі

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук