Полярний розклад матриці

Квадратна матриця $A$ з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

$A=PU=U{P}_1,$

де

$P,P_1$ — невід'ємноозначені матриці,

$U$ — унітарна матриця.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $P,U$ будуть переставними (що рівнозначно до $P=P_1$).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

$A=W\Sigma V^{\ast }$

Знаходження модуля

Оскільки:

$A{A}^{\ast }=PU{U}^{\ast }P=P^2$

$A^{\ast }A=P_{1}U{U}^{\ast }{P}_1=P_1^2$

матриці $P,P_1$ однозначно визначаються як:

$P=\sqrt{A{A}^{\ast }}=W\Sigma W^{\ast }$

$P_1=\sqrt{A^{\ast }A}=V\Sigma V^{\ast }$

Якщо матриця $A$ — нормальна, то $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$ за визначенням.

Знаходження повороту

Використавши $U=P^{-1}A$ отримаємо $U=W{V}^{\ast }.$

Використавши $U=A{P}_1^{-1}$ знову ж отримаємо $U=W{V}^{\ast }.$

Полярний розклад нормальної матриці

Якщо матриця $A$ — нормальна, тоді матриці $P,U,\Sigma$ — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

$\mathrm{\exists }Q,\Sigma ,\Phi :Q\Sigma Q^{\ast }=P,Q\Phi Q^{\ast }=U,$

де

$Q$ — унітарна матриця,

$\Sigma$ — невід'ємноозначена діагональна матриця,

$\Phi$ — унітарна діагональна матриця.

Тоді

$A=(Q\Sigma Q^{\ast })(Q\Phi Q^{\ast })=Q(\Sigma \Phi )Q^{\ast }$ — власний розклад матриці.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра