Власний розклад матриці

У лінійній алгебрі, власний розклад або спектральний розклад — це розклад матриці в канонічну форму, таким чином ми представляємо матрицю в термінах її власних значень і власних векторів. Тільки діагоналізовні матриці можна так розкласти.

Фундаментальна теорія власних векторів і значень матриці

Вектор (ненульовий) v розмірності N є власним вектором квадратної (N×N) матриці A тоді і тільки тоді, коли він задовольняє лінійному рівнянню

$𝐀𝐯=\lambda 𝐯$

де λ це скаляр, термін власне значення стосується v. Тобто, власні вектори це такі вектори, які лінійне перетворення A лише розтягує або скорочує і коефіцієнт розтягування/скорочення і є власним значенням.

Звідси походить рівняння для власних значень

$p\left(\lambda \right):=\det (𝐀-\lambda 𝐈)=0.$

Ми звемо p(λ) характеристичним многочленом, а рівняння називають характеристичним рівнянням, воно являє собою многочленом порядку N з невідомою λ. Це рівняння матиме N_λ відмінних розв'язків, де 1 ≤ N_λ ≤ N . Множину розв'язків, тобто власних значень, іноді звуть спектром A.

Ми можемо розкласти p на множники

$p\left(\lambda \right)=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{n_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{n_k}=0.$

Ціле n_i називається алгебричною кратністю власного значення λ_i. Сума всіх алгебраїчним кратностей дорівнює N:

$\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{n}_i=N.$

Для кожного власного значення, λ_i, ми маємо особливе рівняння

$(𝐀-{\lambda }_i𝐈)𝐯=0.$

Всього буде 1 ≤ m_i ≤ n_i лінійно незалежних розв'зяків для кожного власного значення. m_i розв'язків будуть власними векторами пов'язаними з власним значенням λ_i. Ціле m_i називають геометричною кратністю λ_i. Важливо пам'ятати, що алгебраїчне n_i і геометричне m_i кратні можуть бути однаковими і різними, але завжди m_i ≤ n_i. Найпростіший випадок це коли m_i = n_i = 1. Загальна кількість лінійно незалежних власних векторів, N_v, можна дізнатись додавши геометричні кратності

$\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{m}_i=N_{𝐯}.$

Власні вектори можна проіндексувати по їх власним значенням, тобто із використанням подвійного індексування, з v_i,j, де j^й власний вектор i^го власного значення. Також це можна зробити з одним індексом v_k, з k = 1, 2, ..., N_v.

Власний розклад матриці

Нехай A буде квадратною (N×N) матрицею з N лінійно незалежними власними векторами, $q_i(i=1,\dots ,N).$ Тоді A можна розкласти як

$𝐀=𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{-1}$

де Q це квадратна (N×N) матриця чиї i-ті стовпчики є власними векторами $q_i$ A і Λ це діагональна матриця чиї діагональні елементи є відповідними власними значеннями, тобто, ${\mathrm{\Lambda }}_{ii}={\lambda }_i$. Зауважте, що тільки діагоноалізовні матриці можна розкласти таким чином. Наприклад, матрицю, що на має N (2) незалежних власних векторів $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ не можна діагоналізувати.

Зазвичай власні вектори $q_i(i=1,\dots ,N)$ нормалізують, але в цьому немає потреби. Ненормалізований набір власних векторів, $v_i(i=1,\dots ,N),$ також можна використовувати як стовпчики для Q. Це можна зрозуміти, зауваживши, що величина власних векторів у Q зникає в розкладі завдяки присутності Q⁻¹.

Приклад

Якщо за приклад для декомпозиції через множення на несингулярну матрицю $𝐁=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],[a,b,c,d]\in ℝ$ в діагональну матрицю взяти дійсну матрицю $𝐀=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$.

Тоді

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right]$, для деякої дійсної діагональної матриці $\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right]$.

Перенесемо $𝐁$ на правий бік:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right]$

Попереднє рівняння можна рознести в систему з двох рівнянь:

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax\\ cx\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}by\\ dy\end{array}\right]\end{array}$

Винесемо власні значення $x$ і $y$:

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\end{array}$

Поклавши $\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$, отримаємо два векторних рівняння:

$\{\begin{array}{c}A\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{a}\\ A\overrightarrow{b}=y\overrightarrow{b}\end{array}$

І це можна представити як одне векторне рівняння, яке має два розв'язки як власні значення:

$𝐀𝐮=\lambda 𝐮$

де $\lambda$ представляє два власних значення $x$ і $y$, $𝐮$ представляє вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Перенесемо $\lambda 𝐮$ ліворуч і винесемо за дужки $𝐮$

$(𝐀-\lambda 𝐈)𝐮=0$

Через те, що $𝐁$ несингулярна, тут важливо, що $𝐮$ не нуль,

$(𝐀-\lambda 𝐈)=\mathrm{𝟎}$

Розглядаючи визначник $(𝐀-\lambda 𝐈)$,

$\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 0\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right]=0$

Отже

$(1-\lambda )(3-\lambda )=0$

Отримавши $\lambda =1$ і $\lambda =3$ як розв'язки власних значень для матриці $𝐀$, маємо в результаті діагональну матрицю $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ власного розкладу $𝐀$.

Впишемо розв'язки в систему рівнянь

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\end{array}$

Розв'язавши рівняння ми маємо $a=-2c,a\in ℝ$ and $b=0,b\in ℝ$

Отже матриця $𝐁$ потрібна для власного розкладу матриці $𝐀$ є $\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right],[c,d]\in ℝ$. тобто :

${\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right],[c,d]\in ℝ$

Обернена матриця через власний розклад

Якщо матриця A має власний розклад і якщо жодне з її власних значень не дорівнює нулю, тоді A — несингулярна, тобто моє обернену і обернена задається так

${𝐀}^{-1}=𝐐{\mathrm{\Lambda }}^{-1}{𝐐}^{-1}$

Далі більше, через те, що Λ діагональна, її обернену дуже легко обчислити:

${\left[{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right]}_{ii}=\frac{1}{{\lambda }_i}$

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:MathWorld