Поле (алгебра)

Шаблон:Otheruses Шаблон:Алгебричні структури По́ле (Шаблон:Lang-en — поле, Шаблон:Lang-de — тіло) — алгебрична структура, для якої визначено дві пари бінарних операцій: додавання/віднімання та множення/ділення, що задовольняють умови, подібні до властивостей арифметичних операцій над раціональними, дійсними або комплексними числами.

Означення

Поле — комутативне кільце $F$, в якому кожен ненульовий елемент $a\ne 0$ має обернений $a^{-1}\in F$. Більш детально це означає:

• $F$ є комутативною групою по додаванню;
• $F\setminus \{0\}$ є комутативною групою по множенню;
• множення є дистрибутивним відносно додавання: $(a+b)*c=(a*c)+(b*c)\mathrm{\forall }a,b,c\in F$.

Якщо підмножина $F$ поля $L$ сама утворює поле щодо операцій в $L$ (з тими самими нулем й одиницею), то $F$ називається підполем $L,$ а $L$ — розширенням поля $F$. Позначається $L/F.$

Історія

Поняття поля неявно застосовувалось Нільсом Абелем та Еваристом Галуа для дослідження розв'язків алгебраїчних рівнянь 5-го та вищих степенів.

1871 року Ріхард Дедекінд запровадив для множини дійсних та комплексних чисел поняття «тіло» (Шаблон:Lang-de), щоб довести їх замкненість щодо арифметичних операцій. Відтоді для позначення полів почала широко застосовуватись літера $K$. 1893 року Е. Г. Мур запровадив для цього поняття назву «поле» (Шаблон:Lang-en).

У сучасній математиці розглядаються також і скінченні поля, що відіграють провідну роль у деяких застосуваннях, зокрема, у криптографії та теорії кодування.

Приклади

• Полями є: множини раціональних чисел $\mathbb{Q}$, дійсних чисел $ℝ$, комплексних чисел $ℂ$ зі звичними операціями додавання/віднімання та множення/ділення. Кожне наступне з цих полів є розширенням попереднього:

$\mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ.$

Так само, множина всіх алгебраїчних чисел замкнена щодо алгебраїчних операцій, а тому утворює поле, яке містить $\mathbb{Q}$ і міститься в $ℂ$.

• Якщо $p$ — просте число, то кільце лишків $(\mathrm{mod}p)$ — це скінченне поле з $p$ елементів, яке називається полем Галуа порядку $p$ та позначається

$GF(p)={𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

Ці поля названо на честь Евариста Галуа, який першим розглянув скінченні поля.

• Мероморфні функції $f(z)$ на одиничному крузі $D=\{z:|z|<1\}$, з операціями поточкового додавання та множення, утворюють поле.

Зауваження

• множина цілих чисел $\mathbb{Z}$ з операціями додавання та множення НЕ утворює поля, тому що, наприклад, 2 не має оберненого в $\mathbb{Z}$.

• Для кожного натурального $n\in \mathbb{N}$ існує єдине (не враховуючи ізоморфізмів) поле Галуа $GF(p^n)={𝔽}_{p^n}$,

що складається з $p^n$ елементів, але для $n\ge 2$ це поле НЕ дорівнює кільцю лишків $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. Насправді, $p\cdot p^{n-1}=0(mod{p}^n)$, тому $p\ne 0$ не має оберненого в $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.$

Термінологія

Характеристика поля $F$, що позначається $charF$ — це найменше натуральне число $n$, для якого сума $1+1+\dots +1$ ($n$ доданків) дорівнює $0$, якщо ж такого числа не існує, то вважається, що характеристика поля дорівнює нулю. У наведеному означенні $0$ та $1$ позначають "абстрактні" нуль та одиницю поля $F$, тобто нейтральні елементи відповідно додавання та множення в цьому полі, а не звичні числа нуль та одиницю.

Щодо характеристик полів, приклади яких наведено в попередньому розділі, то поля раціональних, дійсних і комплексних чисел, а також поле мероморфних функцій мають характеристику нуль, у той час як будь-яке скінченне поле з $q=p^n$ елементів, де $p$ — просте число, має характеристику $p>0.$

Взагалі, у довільному полі $F$ існує єдине найменше (так зване просте) підполе. Це або поле, ізоморфне полю раціональних чисел $\mathbb{Q}$ (якщо $charF=0$), або поле $GF(p)$ з $p$ елементів, (якщо $charF=p.$)

Зокрема, будь-яке розширення поля має таку ж характеристику, як і саме поле. Поля додатної характеристики мають незвичайні властивості, які істотно відрізняють їх від полів із характеристикою нуль.

Поле $F$ — алгебраїчно замкнене, якщо будь-який многочлен з коефіцієнтами в $F$ має принаймні один корінь у $F.$

За основною теоремою алгебри, поле $ℂ$ комплексних чисел є алгебраїчно замкнененим, на відміну від поля раціональних чисел $\mathbb{Q}$ і скінченних полів.

Конструкції полів

Припустимо, що комутативне кільце з одиницею $R$ не має дільників нуля, тобто для будь-яких $a,b\in R$ із рівності $ab=0$ випливає, що або $a=0$ або $b=0$. Тоді існує єдине найменше поле $Q(R)$, яке містить у собі $R$. Це поле називається полем часток кільця $R$ і може бути утворено наступним способом (який узагальнює перехід від кільця цілих чисел $\mathbb{Z}$ до поля раціональних чисел $\mathbb{Q}$). Спочатку розглядається множина всіх формальних виразів вигляду $\frac{a}{b}$, де $a,b\in R,b\ne 0$. Ці вирази додаються і множаться на зразок звичайних дробів:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

Два вирази називаються еквівалентними, $\frac{a}{b}\sim \frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$, якщо $a{b}^{\prime }=a^{\prime }b$. Тоді поле часток $Q(R)$ — це множина класів еквівалентності виразів, з означенними вище операціями. Можна довести, що утворена таким чином структура — це комутативне кільце, де роль нуля та одиниці відіграють класи еквівалентності відповідно $\frac{0}{1}$ та $\frac{1}{1}$, а класи еквівалентності виразів $\frac{a}{1}$ є замкнененими відносно додавання та множення й утворюють кільце, ізоморфне $R$ (для цього потрібно переконатися, що з $\frac{a}{1}\sim \frac{a^{\prime }}{1}$ випливає $a=a^{\prime }$, а це справджується завдяки відсутності дільників нуля у $R$). До того ж, будь-який ненульовий клас еквівалентності $\frac{a}{b}(a,b\ne 0)$ має обернений $\frac{b}{a}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}$, тому ми одержуємо поле.

Якщо застосувати цю конструкцію до кільця поліномів $𝕂[x]$, то одержимо поле раціональних функцій $𝕂(x)=Q(𝕂[x]).$

Див. також

• Тіло (алгебра)

Джерела

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры