Описана трапеція

Описана трапеція.

У евклідовій геометрії тангенціальна трапеція, або описана трапеція, — це трапеція, усі чотири сторони якої дотикаються до одного й того ж кола (вписане коло). Це окремий випадок описаного чотирикутника, у якому принаймні одна пара протилежних сторін паралельна. Як і для інших трапецій, паралельні сторони називаються основами, а дві інші сторони — бічними сторонами (катетами). Бічні сторони можуть бути рівними, але це не обов'язково.

Особливі випадки

Прикладами описаних трапецій є ромби та квадрати.

Описаний ромб

Описаний квадрат

Ознака

Якщо вписане коло дотикається до сторін Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar в точках Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar відповідно, то описаний чотирикутник Шаблон:Mvar також є трапецією з паралельними сторонами Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Rp

$\overline{AW}\cdot \overline{DY}=\overline{BW}\cdot \overline{CY}$

і Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є паралельними сторонами трапеції тоді і тільки тоді, коли

$\overline{AW}\cdot \overline{BW}=\overline{CY}\cdot \overline{DY}.$

Площа

Формулу для площі трапеції можна спростити за допомогою теореми Піто, щоб отримати формулу для площі описаної трапеції. Якщо основи мають довжину Шаблон:Mvar, а будь-яка з двох інших сторін має довжину Шаблон:Mvar, тоді площа Шаблон:Mvar визначається формулою (Цю формулу можна використовувати лише у випадках, коли основи паралельні)

$S=\frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{ab(a-c)(c-b)}.$

Площа може бути виражена через довжини відрізків дотичних Шаблон:Mvar як Шаблон:Rp

$S=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).$

Інрадіус (радіус вписаного кола)

Використовуючи ті самі позначення, що й для площі, радіус вписаного кола дорівнює

$r=\frac{S}{a+b}=\frac{\sqrt{ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}.$

Діаметр вписаного кола дорівнює висоті описаної трапеції.

Інрадіус також можна виразити через довжини відрізків дотичних як Шаблон:Rp

$r=\sqrt[4]{efgh}.$

Крім того, якщо довжини відрізків дотичних Шаблон:Mvar виходять відповідно з вершин Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar паралельна Шаблон:Mvar, то

$r=\sqrt{eh}=\sqrt{fg}.$

Властивості інцентра (центра вписаного кола)

Якщо вписане коло дотикається до основ у точках Шаблон:Mvar, то точки Шаблон:Mvar лежать на одній прямій, де Шаблон:Mvar — центр вписаного.

Кути Шаблон:Math і Шаблон:Math в описаній трапеції Шаблон:Mvar з основами Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є прямими.

Центр вписаного кола лежить на медіані (її також називають середньою лінією, тобто відрізком, що з'єднує середини бічних сторін).

Інші властивості

Медіана (середня лінія) описаної трапеції дорівнює одній четвертій периметра трапеції. Вона також дорівнює половині суми основ, як і в усіх трапеціях.

Якщо накреслено два кола, діаметр кожного з яких збігається з бічними сторонами описаної трапеції, то ці два кола дотикаються одне до одного.

Прямокутна описана трапеція

Прямокутна описана трапеція.

Прямокутна описана трапеція — це описана трапеція, у якій два суміжні кути є прямими. Якщо основи мають довжини Шаблон:Mvar, то інрадіус дорівнює

$r=\frac{ab}{a+b}.$

Таким чином, діаметр вписаного кола є середнім гармонічним основ.

Прямокутна описана трапеція має площу

$S=ab$

а її периметр Шаблон:Mvar дорівнює

$P=2(a+b).$

Рівнобічна описана трапеція

Кожна рівнобічна описана трапеція є біцентричною.

Рівнобічна описана трапеція — це описана трапеція, у якої бічні сторони рівні. Оскільки рівнобічна трапеція є вписаним чотирикутником, то рівнобічна описана трапеція є біцентричним чотирикутником. Тобто вона має як вписане, так і описане коло.

Якщо основи дорівнюють Шаблон:Mvar, то інрадіус визначається як

$r=\frac{1}{2}\sqrt{ab}.$

Щоб вивести цю формулу, була використана задача Сангаку з Японії. З теореми Піто випливає, що довжини бічних сторін дорівнюють половині суми основ. Оскільки діаметр вписаного кола є коренем квадратним із добутку основ, рівнобічна описана трапеція дає гарну геометричну інтерпретацію середнього арифметичного та середнього геометричного основ як довжини бічної сторони та діаметра вписаного кола відповідно.

Площа Шаблон:Mvar рівнобічної описаної трапеції з основами Шаблон:Mvar визначається як

$S=\frac{1}{2}\sqrt{ab}(a+b).$