Метод варіації параметрів

Шаблон:Диференціальні рівняння Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (Шаблон:Lang-en) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку

$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

$y^{\prime }+p(x)y=0$.

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

$\frac{d}{dx}y+p(x)y=0$

$\frac{dy}{dx}=-p(x)y$

$\frac{dy}{y}=-p(x)dx,$

$\int \frac{1}{y}dy=-\int p(x)dx$

$ln(y)=-\int p(x)dx+C$

$y=e^{-\int p(x)dx+C}=C{e}^{-\int p(x)dx}$

Загальний розв'язок:

$y_3=C{e}^{-\int p(x)dx}$

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

$y_{4acm}=C(x)e^{-\int p(x)dx}$

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

$C^{\prime }(x)e^{-\int p(x)dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)$

$C^{\prime }(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)$

$C^{\prime }(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$

$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C$

Тоді частковий розв'язок:

$y_{4acm}=C{e}^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx$

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

$y=y_3+y_{4acm}$

$y=C{e}^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C{e}^{-\int p(x)dx}$

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку

$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=g(x).$

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки $y_1(x)$ і $y_2(x)$ для відповідного однорідного рівняння

$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0,$

тоді ми шукаємо $v_1(x)$ і $v_2(x)$ такі, що

$y^{*}=v_1{y}_1+v_2{y}_2$

$y^{\text{'}*}=(v_1^{\text{'}}{y}_1+v_2^{\text{'}}{y}_2)+(v_1{y}_1^{\text{'}}+v_2{y}_2^{\text{'}}).$

Тепер накладемо таку додаткову умову:

$v_1^{\text{'}}{y}_1+v_2^{\text{'}}{y}_2=0$

отже

$y^{\text{'}*}=v_1{y}_1^{\text{'}}+v_2{y}_2^{\text{'}}$

$y^{{\text{'}}^{\prime }*}=v_1^{\text{'}}{y}_1^{\text{'}}+v_2^{\text{'}}{y}_2^{\text{'}}+v_1{y}_1^{{\text{'}}^{\prime }}+v_2{y}_2^{{\text{'}}^{\prime }}$

Підставимо $y^{*},y^{\text{'}*}$ і $y^{{\text{'}}^{\prime }*}$ в початкове рівняння, у результаті отримуємо

$v_1(y_1^{{\text{'}}^{\prime }}+p{y}_1^{\text{'}}+q{y}_1)+v_2(y_2^{{\text{'}}^{\prime }}+p{y}_2^{\text{'}}+q{y}_2)+v_1^{\text{'}}{y}_1^{\text{'}}+v_2^{\text{'}}{y}_2^{\text{'}}=g(x),$

що спрощується до

$v_1^{\text{'}}{y}_1^{\text{'}}+v_2^{\text{'}}{y}_2^{\text{'}}=g(x).$

Разом із додатковою умовою маємо систему

$\{\begin{array}{c}{v}_1^{\text{'}}{y}_1+v_2^{\text{'}}{y}_2=0\\ v_1^{\text{'}}{y}_1^{\text{'}}+v_2^{\text{'}}{y}_2^{\text{'}}=g(x)\end{array}.$

Для розв'язання щодо $v_1^{\text{'}}$ і $v_1^{\text{'}}$ використаємо правило Крамера, отримуємо

$v_1^{\text{'}}=\left|\begin{array}{cc}0& y_2\\ g(x)& y_2^{\text{'}}\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\text{'}}& y_2^{\text{'}}\end{array}\right|=-\frac{y_{2}g(x)}{W(x)}$

$v_2^{\text{'}}=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& 0\\ y_1^{\text{'}}& g(x)\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\text{'}}& y_2^{\text{'}}\end{array}\right|=\frac{y_{1}g(x)}{W(x)},$

де $W(y_1,y_2)=W(x)=y_1{y}_2^{\text{'}}-y_2{y}_1^{\text{'}}$

це визначник Вронського, який є функцією тільки від $x,$ отже ми можемо проінтегрувати і отримати

$v_1\equiv -\int \frac{y_{2}g(x)}{W(x)}dx$

$v_2\equiv \int \frac{y_{1}g(x)}{W(x)}dx,$

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані $v_1(x)$ і $v_2(x),$ можна підставити для отримання часткового розв'язку

$y^{*}=v_1{y}_1+v_2{y}_2.$