Розділення змінних

Шаблон:Диференціальні рівняння В математиці метод відокремлення змінних (відомий також як метод Фур'є) є одним з методів для знаходження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можна переписати таким чином, щоб кожна з двох змінних містилися виключно по різні боки рівняння (по різні боки від знака «дорівнює»). У найпростішому випадку, якщо маємо справу з трьома змінними b=f(x, y, z), одній з величин z у межах інтервалу вимірів (z₁ — z_n) надають кілька послідовних значень. Для двох інших змінних х та y будують графіки функцій y=fi (x) при z_i = const. У результаті на одному й тому самому графіку одержують сімейство кривих y=f_i (x) для різних значень z.

Звичайні Диференціальні Рівняння (ЗДР)

Нехай дано диференціальне рівняння в наступній формі:

$\frac{d}{dx}f(x)=g(x)h(f(x)),(1)$

яке ми можемо спростити використовуючи заміну $y=f(x)$:

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).$

Вважаючи що h(y) ≠ 0, ми можемо рознести компоненти, що залежать від x та від y по різні боки цього рівняння, щоб отримати:

$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx.$

Тут dx (чи dy) можна розглядати на спрощеному рівні лише як зручний запис, що допомагає запам'ятати методику маніпуляцій. Формальне визначення dx як диференціалу є більш глибоким і просунутим поняттям.

Альтернативний запис

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

$\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x),$

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме «розділенням змінних».

Інтегруючи обидві частини рівняння по $dx$, ми отримуємо

$\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int g(x)dx,(2)$

або, що те ж саме,

$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

$\int \frac{1}{h(y)}dy+C_1=\int g(x)dx+C_2.$

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достатньо лише однієї константи $C=C_2-C_1$.

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал $\frac{dy}{dx}$ на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам скористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівнянь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Приклад (I)

Звичайне диференціальне рівняння

$\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-f(x))$

можна записати як

$\frac{dy}{dx}=y(1-y),$

вважаючи що $f(x)=y$. Якщо взяти $g(x)=1$, а $h(y)=y(1-y)$, тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо $dy$ та $dx$ як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на $dx$ та поділивши їх на $y(1-y)$, ми отримаємо:

$\frac{dy}{y(1-y)}=dx.$

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

$\int \frac{dy}{y(1-y)}=\int dx,$

що після спрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

$\int \frac{1}{y}dy+\int \frac{1}{1-y}dy=\int 1dx,$

й дасть в результаті:

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C$

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

$y=\frac{1}{1+B{e}^{-x}},$

де $B=e^{-C}$ є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по $dx$ й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абсолютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на $y$ та $(1-y)$, слід перевірити чи значення $y(x)=0$ та $y(x)=1$ є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Приклад (II)

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

$\frac{dP}{dt}=vP(1-\frac{P}{K})$

де $P$ є функцією зміни населення з часом $t$, $v$ є швидкістю росту, а $K$ відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

$\frac{dP}{dt}=vP(1-\frac{P}{K})$

$\int \frac{dP}{P(1-\frac{P}{K})}=\int vdt$

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

$\frac{1}{P(1-\frac{P}{K})}=\frac{K}{P(K-P)},$

а потім спростити до

$\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}$

Таким чином ми маємо, що:

$\int (\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P})dP=\int vdt$

$\ln \left|\begin{array}{c}P\end{array}\right|-\ln \left|\begin{array}{c}K-P\end{array}\right|=vt+C$

$\ln \left|\begin{array}{c}K-P\end{array}\right|-\ln \left|\begin{array}{c}P\end{array}\right|=-vt-C$

$\ln \left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=-vt-C$

$\left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=e^{-vt-C}$

$\left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=e^{-C}{e}^{-vt}$

$\frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}{e}^{-vt}$

Нехай $A=\pm e^{-C}$.

$\frac{K-P}{P}=A{e}^{-vt}$

$\frac{K}{P}-1=A{e}^{-vt}$

$\frac{K}{P}=1+A{e}^{-vt}$

$\frac{P}{K}=\frac{1}{1+A{e}^{-vt}}$

$P=\frac{K}{1+A{e}^{-vt}}$

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

$P\left(t\right)=\frac{K}{1+A{e}^{-vt}}$

Щоб визначити значення константи $A$ приймемо, що при $t=0$ початкове населення становило $P\left(0\right)=P_0$. Тоді отримуємо:

$P_0=\frac{K}{1+A{e}^0}$

Приймаючи до уваги що $e^0=1$, знаходимо вираз для $A$:

$A=\frac{K-P_0}{P_0}$

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

$P\left(t\right)=\frac{K{P}_0}{K+P_0(1-e^{-vt})}$

Диференціальні рівняння в частинних похідних

Маючи диференціальне рівняння в частинних похідних для функції

$F(x_1,x_2,\dots ,x_n),$

що залежить від n змінних, деколи можна здогадатися, що розв'язок має форму

$F=F_1(x_1)\cdot F_2(x_2)\cdots F_n(x_n)$

або

$F=f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots +f_n(x_n),$

що переводить диференціальне рівняння з частинними похідними у систему звичайних диференціальних рівнянь. Зазвичай кожна незалежна змінна створює константу розділення, що не може бути визначена з одного лише вихідного рівняння.

Приклад (I)

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося розв'язати наступне рівняння в частинних похідних:

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}=0(1)$

Спробуємо шукати розв'язок у формі

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)(2)$

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

$\frac{dX}{dx}+\frac{dY}{dy}+\frac{dZ}{dz}=0(3)$

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

$\frac{dX}{dx}=c_1\frac{dY}{dy}=c_2\frac{dZ}{dz}=c_3,(4)$

де константи c₁, c₂, c₃ задовольняють рівність

$c_1+c_2+c_3=0(5)$

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_4,(6)$

де константа інтегрування c₄ визначається з початкових умов.

Приклад (IIa) Лапласіан

Розглянемо диференціальне рівняння

${\mathrm{\nabla }}^{2}v+\lambda v=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\lambda v=0.$

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

$v=X(x)Y(y).$

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[X(x)Y(y)]+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)$

$=Y(y)X^{″}(x)+X(x)Y^{″}(y)+\lambda X(x)Y(y)=0.$

далі розділимо все рівняння на X(x):

$\frac{X^{″}(x)Y(y)}{X(x)}+Y^{″}(y)+\lambda Y(y)=0,$

а потім на Y(y):

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}+\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}=0.$

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=k=-\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)},$

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

$X^{″}(x)-kX(x)=0$

та

$Y^{″}(y)+(\lambda +k)Y(y)=0$

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

Приклад (IIb) Власні значення та власні функції Лапласіана

У прямокутній області (наприклад при [0, L₁] × [0, L₂]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:

$\begin{array}{cc}{v}_{j_1,j_2}(x,y)& =\sqrt{\frac{2}{L_1}}\sin \left(\frac{j_1\pi x}{L_1}\right)\otimes \sqrt{\frac{2}{L_2}}\sin \left(\frac{j_2\pi y}{L_2}\right)\\ & =\frac{2}{\sqrt{L_1{L}_2}}\sin \left(\frac{j_1\pi x}{L_1}\right)\sin \left(\frac{j_2\pi y}{L_2}\right),j_1,j_2=1,\dots ,\mathrm{\infty }.\end{array}$

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

${\lambda }_{j_1,j_2}=-\frac{j_1^2{\pi }^2}{L_1^2}+-\frac{j_2^2{\pi }^2}{L_2^2}.$

Матриці

Матрична форма розділення змінних — це сума Кронекера.

Приклад: 2D Дискретний Лапласіан на регулярній ґратці

$L={𝐃}_{𝐱𝐱}\oplus {𝐃}_{𝐲𝐲}={𝐃}_{𝐱𝐱}\otimes 𝐈+𝐈\otimes {𝐃}_{𝐲𝐲},$

де ${𝐃}_{𝐱𝐱}$ та ${𝐃}_{𝐲𝐲}$ — одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а $𝐈$ — одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Шаблон:Iw).

Програмне забезпечення

Xcas: split((x+1)*(y-2), [x, y]) = [x+1,y-2]

Джерела

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
• Основний матеріал було взято з англійської Вікіпедії й доповнено.

Література

• Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод: Моногр. / П. І. Каленюк, З. М. Нитребич; Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л., 2002. — 291 c. — Бібліогр.: с. 275—288.

Посилання

• Методи загального та функціонального розділення змінних Шаблон:Webarchive у «Світі Математичних Рівнянь».

• Приклади розділення змінних для розв'язку диференціальних рівнянь в частиних похідних.