Каппа (плоска крива)

Крива «Каппа» з двома асимптотами.

Каппа (також крива Ґутшовена) — плоска алгебрична крива 4-го порядку з однією особливою точкою (вироджений вузол), двома асимптотами та двома осями симетрії.

Означення:
Криву можна означити як геометричне місце точок дотику дотичних, проведених з початку координат (точки $O(0,0)$) до кола радіуса $a$, центр якого переміщується вздовж осі абсцис (осі $Ox$).Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:SfnШаблон:Rp

Також криву можна означити наступним чином (Барроу):
На полярній осі відкладаємо відрізок $OA=a$ і в точці $A$ проводимо перпендикуляр до цієї осі. Із полюса проводимо довільний промінь, що перетинає цей перпендикуляр в точці $B$. На променю відкладаємо відрізок $OM=BA$; геометричне місце точок $M$ при обертанні променя навколо полюса $O$ є каппою.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Також криву можна означити наступним чином:
Проводимо коло з центром в початку координат і радіусом $a$. Проводимо довільний радіус $OA$ та перпендикулярно до нього промінь $ON$. Паралельно до полярної осі проводимо пряму $AM$ до її перетину з променем $ON$ в точці $M$. Геометричне місце точок $M$ є каппою.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Крива вперше вивчалася математиком Джерардом ван Ґутшовеном в 1662р. Пізніше її досліджували Ісаак Ньютон та Йоганн Бернуллі.

Рівняння

• Рівняння кривої в декартовій системі координат в неявному виді:Шаблон:SfnШаблон:RpШаблон:SfnШаблон:Rp

$(x^2+y^2)\cdot y^2=a^2\cdot x^2$

При цьому початок координат є вузловою точкою кривої, осі координат є осями симетрії кривої, а прямі $y=\pm a$ є асимптотами кривої.

Рівняння $y=\pm \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$ описує криву, що повернута відносно початку координат на Шаблон:Math радіан, тобто має асимптоти $x=\pm a$.

• Рівняння кривої в декартовій системі координат в параметричному виді:

$\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \mathrm{ctg}t\cdot \cos t\\ y(t)=a\cdot \cos t\end{array},t\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi )$

• Рівняння кривої в полярній системі координат:

$\rho =a\cdot \mathrm{ctg}\phi ,\phi \in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )$

Рівняння $\rho =a\cdot \mathrm{tg}\phi$ описує криву, що повернута відносно полюса на Шаблон:Math радіан, тобто має асимптоти $x=\pm a$.

Метричні характеристики

• Площа
  

Квадратуру каппи вперше здійснив Ґюйґенс, довівши що площа области, яка обмежена віссю ординат (віссю $Oy$), гілкою каппи та її асимптотою дорівнює половині площі твірного круга: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$S=\frac{\pi \cdot a^2}{2}$

• Кривина кривої в точці, що відповідає полярному куту $\phi$:

$\kappa (\phi )=\frac{8(3-{\sin }^2\phi ){\sin }^4\phi }{a{[{\sin }^2(2\phi )+4]}^{3/2}}$

• Кут нахилу дотичної в точці, що відповідає полярному куту $\phi$:

$\varphi (\phi )=-\arctan [\frac{1}{2}\sin (2\phi )]$

Властивості та особливості форми

• Каппа є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку, роду 0.
  Каппа є необмеженою зв'язною центральносиметричною кривою з однією особливою точкою (вироджений вузол) в початку координат. Точка $O(0,0)$ — точка самоперетину. Пряма $x=0$ — дотична у вузловій точці. Має дві взаємноперпендикулярні осі симетрії (осі координат). Має дві горизонтальні асимптоти $y=\pm a$.Шаблон:SfnШаблон:Rp

• Каппа є радіальною кривою трактриси.

• Каппа належить до сімейства кривих, що мають рівняння $\rho =a\cdot \mathrm{ctg}(k\phi )$ в полярній системі координат.
  Ці криві мають назву «вузли» (англ. nodal curve). Всі криві цього сімейства мають в початку координат $O(0,0)$ вузлову точку, та асимптоти, які паралельні до координатних осей.
  До цього сімейства, зокрема, належить також строфоїда $(k=\frac{1}{2})$, та крива «вітровий млин» $(k=2)$.Шаблон:SfnШаблон:Rp
  Особливістю цих кривих є те, що застосовуючи до вузла $\rho =a\cdot \mathrm{ctg}(k\phi )$ інверсію відносно початку координат, отримаємо також вузол $\rho =a\cdot \mathrm{tg}(k\phi )$, що конгруентний даному, але повернутий на Шаблон:Math радіан.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Дотичні через нескінченно малі

Дотичні до кривої «каппа» можна також визначити геометрично, використовуючи диференціали та елементарні правила арифметики нескінченно малих. Нехай Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar — змінні, а $a$ — деяка стала. З означення каппи маємо:

$x^2(x^2+y^2)-a^2{y}^2=0$

Тепер, нескінченно мала зміна положення точки повинна також змінити значення лівої частини, так що

$d(x^2(x^2+y^2)-a^2{y}^2)=0$

Обчислюємо диференціал, застосовуючи правила диференціювання:

$\begin{array}{cc}d\left(x^2(x^2+y^2)\right)-d\left(a^2{y}^2\right)& =0\\ [6px](2xdx)(x^2+y^2)+x^2(2xdx+2ydy)-a^{2}2ydy& =0\\ [6px](4x^3+2x{y}^2)dx+(2y{x}^2-2a^{2}y)dy& =0\\ [6px]x(2x^2+y^2)dx+y(x^2-a^2)dy& =0\\ [6px]\frac{x(2x^2+y^2)}{y(a^2-x^2)}& =\frac{dy}{dx}\end{array}$

Похідна

Якщо використовувати сучасне поняття функціональної залежності Шаблон:Math і провести диференціювання неявно заданої функції, то нахил дотичної до кривої в точці Шаблон:Math:

$\begin{array}{cc}2x(x^2+y^2)+x^2(2x+2y\frac{dy}{dx})& =2a^{2}y\frac{dy}{dx}\\ [6px]2x^3+2x{y}^2+2x^3& =2a^{2}y\frac{dy}{dx}-2x^{2}y\frac{dy}{dx}\\ [6px]4x^3+2x{y}^2& =(2a^{2}y-2x^{2}y)\frac{dy}{dx}\\ [6px]\frac{2x^3+x{y}^2}{a^{2}y-x^{2}y}& =\frac{dy}{dx}\end{array}$

Література

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Ferréol Robert , Kappa, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• Шаблон:MacTutor (MacTutor History of Mathematics Archive).
• Jan Wassenaar, Kappa Curve, на сайті www.2dcurves.com.
• Kappa Encyclopedia of Mathematics. , 2014.
• Kappa Curve на сайті people.math.carleton.ca