Еліптичні функції Якобі

Шаблон:UniboxЕліптичні функції Якобі — набір основних еліптичних функцій комплексної змінної, і допоміжних тета-функцій, які мають велике історичне значення і пряме відношення до деяких прикладних задач (наприклад, рівняння маятника). Вони також мають корисні аналогії з тригонометричними функціями, як показує відповідне позначення $\mathrm{s}\mathrm{n}$ для $\sin$. Вони не дають найпростіший спосіб розвинути загальну теорію еліптичних функцій, тому в у вступних книгах вони менш популярні, ніж еліптичні функції Вейєрштраса. Еліптичні функції Якобі мають в основному паралелограмі по два простих полюси і два простих нуля.

Означення

Як мероморфні функції

Паралелограм Якобі.

Функції Якобі є еліптичними функціями, тобто подвійно періодичними мероморфними функціями комплексної змінної. Тобто фактично їх значення визначається на торі або основному паралелограмі.

Якщо ця функція є всюди голоморфною то згідно з теоремою Ліувіля вона буде константою. З властивостей лишків та подвійної періодичності випливає також, що еліптичні функції не можуть в основному паралелограмі мати єдиного полюса порядку 1. Відповідно найпростішими несталими функціями є функції з єдиним полюсом порядку два і двома полюсами порядку 1. Першими є еліптичні функції Вейєрштраса, другими — еліптичні функції Якобі.

Загалом існує 12 принципово відмінних еліптичних функцій Якобі. Загалом вони залежать від основного паралелограма.

Нехай визначено паралелограм (який не буде основним) як на малюнку з вершинами Шаблон:Nowrap, що для зручності нотації позначені як s, c, d і n, відповідно.

Дійсні числа K і K' називаються «чвертями періодів».

12 функцій позначаються sc, sd, sn, cd, cn, cs, dn, ds, dc, ns, nc і nd.

Вони є єдиними еліптичними функціями, що задовольняють умови:

• Функція має простий нуль в куті p визначеного паралелограма і простий полюс в куті q. В інших двох кутах полюсів і нулів немає.
• Відстань від p до q є половиною періоду функції pq u;тобто функція pq u є періодичною в напрямку pq, з періодом вдвічі більшим, ніж відстань від p до q. Відстані від p до інших точок є чвертями періодів.
• Розклад функції pq u в ряд Тейлора щодо u в околі точки p має членом найменшого степеня u; членом найменшого степеня при розкладі в ряд Лорана в околі q є 1/u; в інших кутах розклад в ряд Тейлора починається з 1.

Наприклад функція dn має нуль в точці d і полюс в точці n. Вона періодична з періодами 2K і 4iK.

Як обернені функції до еліптичних інтегралів

Наведене вище означення в термінах мероморфних функцій є досить абстрактним. Існує більш просте, але абсолютно еквівалентне означення, що задає еліптичні функції як зворотні до неповного еліптичному інтегралу першого роду. нехай

$u=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}.$

Еліптична функція $snu$ задається як

$\mathrm{sn}u=\sin \varphi$

і $cnu$ визначається

$\mathrm{cn}u=\cos \varphi$

а

$\mathrm{dn}u=\sqrt{1-m{\sin }^2\varphi }.$

Тут кут $\varphi$ називається амплітудою. $\mathrm{dn}u=\mathrm{\Delta }(u)$ називається дельта амплітудою. Значення m є вільним параметром, який є дійсним числом в діапазоні $0\le m\le 1$, і таким чином еліптичні функції є функціями двох аргументів: амплітуди $\varphi$ і параметра m.

Решта дев'ять еліптичних функцій легко побудувати з трьох вищенаведених. Це буде зроблено нижче.

Коли $\varphi =\pi /2$, то u дорівнює чверті періоду K.

Означення в термінах тета-функцій

Еквівалентно еліптичні функції Якобі можна визначити в термінах тета-функцій. Якщо ми визначимо $\vartheta (0;\tau )$ як $\vartheta$, і ${\vartheta }_{01}(0;\tau ),{\vartheta }_{10}(0;\tau ),{\vartheta }_{11}(0;\tau )$ відповідно як ${\vartheta }_{01},{\vartheta }_{10},{\vartheta }_{11}$ (тета константи) тоді еліптичний модуль k дорівнює $k={\left(\frac{{\vartheta }_{10}}{\vartheta }\right)}^2$. Вважаючи $u=\pi {\vartheta }^{2}z$, отримаємо

$\begin{array}{cc}\mathrm{sn}(u;k)& =-\frac{\vartheta {\vartheta }_{11}(z;\tau )}{{\vartheta }_{10}{\vartheta }_{01}(z;\tau )}\\ \mathrm{cn}(u;k)& =\frac{{\vartheta }_{01}{\vartheta }_{10}(z;\tau )}{{\vartheta }_{10}{\vartheta }_{01}(z;\tau )}\\ \mathrm{dn}(u;k)& =\frac{{\vartheta }_{01}\vartheta (z;\tau )}{\vartheta {\vartheta }_{01}(z;\tau )}\end{array}$

Оскільки функції Якобі визначаються в термінах еліптичного модуля $k(\tau )$, необхідно знайти обернені до них і записати τ в термінах k. Почнемо з додаткового модуля $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$. Як функція від τ він рівний

$k^{\prime }(\tau )=(\frac{{\vartheta }_{01}}{\vartheta }{)}^2.$

Введемо позначення

$\ell =\frac{1}{2}\frac{1\sqrt{k^{\prime }}}{1+\sqrt{k^{\prime }}}=\frac{1}{2}\frac{\vartheta -{\vartheta }_{01}}{\vartheta +{\vartheta }_{01}}.$

Визначимо також ном q як $q=\exp (\pi i\tau )$ і розкладемо $\ell$ в ряд за степенями нома q. отримаємо

$\ell =\frac{q+q^9+q^{25}+\cdots }{1+2q^4+2q^{16}+\cdots }.$

Можна записати розклад в ряд

$q=\ell +2{\ell }^5+15{\ell }^9+150{\ell }^{13}+1707{\ell }^{17}+20910{\ell }^{21}+268616{\ell }^{25}+\cdots .$

Оскільки ми можемо розглянути окремий випадок коли уявна частина τ більша або рівна $\sqrt{3}/2$, ми можемо сказати, що значення q менше або рівне $\exp (-\pi \sqrt{3}/2)$ . Для таких малих значень вищенаведений ряд збігається дуже швидко, і це дозволяє легко знайти відповідне значення для q.

Позначення

Для еліптичних функцій можна зустріти різноманітні позначення. Еліптичні функції — функції двох змінних. Першу змінну можна дати в термінах амплітуди φ, або зазвичай, в термінах u, як нижче. Другу змінну можна було б дати в термінах параметра m, або як еліптичний модуль k, де $k^2=m$, або в термінах модулярного кута $o\epsilon$, де $m={\sin }^{2}o\epsilon$.

Інші функції

Зміною двох букв в назві функцій зазвичай позначають обернені функції до трьох основних функцій наведених вище:

$\begin{array}{cc}\mathrm{ns}(u)& =\frac{1}{\mathrm{sn}(u)}\\ \mathrm{nc}(u)& =\frac{1}{\mathrm{cn}(u)}\\ \mathrm{nd}(u)& =\frac{1}{\mathrm{dn}(u)}\end{array}$

Частки трьох головних функцій позначають першою літерою чисельника і першою літерою знаменника:

$\begin{array}{cc}\mathrm{sc}(u)& =\frac{\mathrm{sn}(u)}{\mathrm{cn}(u)}\\ \mathrm{sd}(u)& =\frac{\mathrm{sn}(u)}{\mathrm{dn}(u)}\\ \mathrm{dc}(u)& =\frac{\mathrm{dn}(u)}{\mathrm{cn}(u)}\\ \mathrm{ds}(u)& =\frac{\mathrm{dn}(u)}{\mathrm{sn}(u)}\\ \mathrm{cs}(u)& =\frac{\mathrm{cn}(u)}{\mathrm{sn}(u)}\\ \mathrm{cd}(u)& =\frac{\mathrm{cn}(u)}{\mathrm{dn}(u)}\end{array}$

Для кращого запам'ятовування більш коротко можна записати : $\mathrm{pq}(u)=\frac{\mathrm{pr}(u)}{\mathrm{qr(u)}}$ де всі букви p, q, і r є будь-якими буквами s, c, d, n (слід пам'ятати, що ss = cc = dd = nn = 1).

Додаткові теореми

Функції задовольняють двом алгебраїчним співвідношенням

${\mathrm{cn}}^2(u,k)+{\mathrm{sn}}^2(u,k)=1,$

${\mathrm{dn}}^2(u,k)+k^2{\mathrm{sn}}^2(u,k)=1.$

З цього видно, що (cn, sn, dn) параметризують еліптичну криву, яка є перетином двох квадрик заданих вищезазначеними двома рівняннями.

На цій кривій можна визначити груповий закон для точок за допомогою додаткових формул для функцій Якобі:

$\begin{array}{cc}\mathrm{cn}(x+y)& =\frac{\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)-\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},\\ \mathrm{sn}(x+y)& =\frac{\mathrm{sn}(x)\mathrm{cn}(y)\mathrm{dn}(y)+\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{dn}(x)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)},\\ \mathrm{dn}(x+y)& =\frac{\mathrm{dn}(x)\mathrm{dn}(y)-k^2\mathrm{sn}(x)\mathrm{sn}(y)\mathrm{cn}(x)\mathrm{cn}(y)}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2(x){\mathrm{sn}}^2(y)}.\end{array}$

Тригонометричні і гіперболічні функції, як окремий випадок еліптичних

• Якщо m = 1, то: $u=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\ln (\frac{1}{\cos \phi }-\mathrm{tg}\phi )$;

Звідси:

$\sin \phi =\mathrm{sn}u=\frac{e^u-1}{e^u+1}=\mathrm{th}u$

Звідси:

$\mathrm{cn}u=\sqrt{1-{\mathrm{sn}}^{2}u}=\frac{1}{\mathrm{ch}u}$

і:

$\mathrm{dn}u=\sqrt{1-{\mathrm{sn}}^{2}u}=\frac{1}{\mathrm{ch}u}$

Таким чином, при m = 1 еліптичні функції вироджуються в гіперболічні.

• Якщо m = 0, то: $u=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}d\theta =\phi$;

Звідси:

$\sin \phi =\sin u=\mathrm{sn}u$,

а також:

$\mathrm{cn}u=\cos u$,: $\mathrm{dn}u=1$,

Таким чином, при m = 0 еліптичні функції вироджуються в тригонометричні.

Співвідношення між квадратами функцій

Для квадратів цих функцій вірні наступні співвідношення:

$-{\mathrm{dn}}^2(u)+m_1=-m{\mathrm{cn}}^2(u)=m{\mathrm{sn}}^2(u)-m$

$-m_1{\mathrm{nd}}^2(u)+m_1=-m{m}_1{\mathrm{sd}}^2(u)=m{\mathrm{cd}}^2(u)-m$: $m_1{\mathrm{sc}}^2(u)+m_1=m_1{\mathrm{nc}}^2(u)={\mathrm{dc}}^2(u)-m$

${\mathrm{cs}}^2(u)+m_1={\mathrm{ds}}^2(u)={\mathrm{ns}}^2(u)-m$ де $m+m_1=1$ і $m=k^2$.

Додаткові рівності для квадратів можна отримати якщо зауважити, що ${\mathrm{pq}}^2\cdot {\mathrm{qp}}^2=1$, а також $\mathrm{pq}=\mathrm{pr}/\mathrm{qr}$ де p, q, r — будь-які літери s, c, d, n і ss = cc = dd = nn = 1.

Ном

Нехай ном дорівнює $q=\exp (-\pi K^{\prime }/K)$ і нехай аргумент — $v=\pi u/(2K)$.

Тоді функції можна представити у вигляді сум Ламберта:

$\mathrm{sn}(u)=\frac{2\pi }{K\sqrt{m}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}\sin ((2n+1)v),$

$\mathrm{cn}(u)=\frac{2\pi }{K\sqrt{m}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}\cos ((2n+1)v),$

$\mathrm{dn}(u)=\frac{\pi }{2K}+\frac{2\pi }{K}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos (2nv).$

Розв'язки нелінійних звичайних диференціальних рівнянь

Похідні трьох основних еліптичних функцій Якобі записуються у вигляді:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)=\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)=-\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k)=-k^2\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k).$

Використовуючи теорему, формулювання якої наведена вище отримаємо для заданого k (0 < k < 1) рівняння розв'язками яких є еліптичні функції Якобі:

• $\mathrm{s}\mathrm{n}(x;k)$ є розв'язком рівнянь

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1+k^2)y-2k^2{y}^3=0,$

і

${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-y^2)(1-k^2{y}^2)$

• $\mathrm{c}\mathrm{n}(x;k)$ є розв'язком рівнянь

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1-2k^2)y+2k^2{y}^3=0,$

і

${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-y^2)(1-k^2+k^2{y}^2)$

• $\mathrm{d}\mathrm{n}(x;k)$ є розв'язком рівняння

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-(2-k^2)y+2y^3=0,$

і

${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(y^2-1)(1-k^2-y^2)$

Див. також

• Еліптичний інтеграл
• Еліптична функція
• Еліптичні функції Вейєрштрасса

Посилання

• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld

Література

• Шаблон:Cite book See Chapter 16 Шаблон:Webarchive

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book или Москва: УРСС, 2010
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр