Група кватерніона

Циклічний граф Q₈. Кожен колір це послідовність степенів деякого елемента, зв'язана з нейтральним елементом — (1). Для прикладу, червоний цикл показує, що i ² = −1, i ³ = −i  та i ⁴ = 1. А також (−i )² = −1, (−i )³ = i  та (−i )⁴ = 1.

В теорії груп, група кватерніона є Шаблон:Нп групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q₈ і представляється заданням групи

$Q=⟨-1,i,j,k\mid (-1{)}^2=1,i^2=j^2=k^2=ijk=-1⟩,$

де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи.

Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі.

$\begin{array}{cccc}ij& =k,& ji& =-k,\\ jk& =i,& kj& =-i,\\ ki& =j,& ik& =-j.\end{array}$

Властивості

• Група кватерніона є гамільтоновою: Q₈ є неабелевою, але всі її підгрупи є нормальними.

• Можна побудувати 4-вимірний дійсний векторний простір з базисом {1, i, j, k} і зробити з нього асоціативну алгебру ввівши множення, як описано вище, та добавивши дистрибутивний закон. Отримаємо тіло кватерніонів.

• Порядок елементів i, j, k рівний 4, і довільні два з них утворюють породжуючу множину групи. Інше задання групи:

$⟨x,y\mid x^2=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

• Центр та комутант групи Q₈ це підгрупа {±1}.
  • Факторгрупа Q/{±1} ізоморфна 4-групі Клейна V₄.
  • Група внутрішніх автоморфізмів Q₈ також ізоморфна 4-групі Клейна.
  • Повна група автоморфізмів Q₈ ізоморфна S₄, симетричній групі з 4 елементів.
  • Група зовнішніх автоморфізмів Q₈ рівна S₄/V = S₃.

Матричне представлення

Група кватерніона може бути представлена як підгрупа загальної лінійної групи:

$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ)$

де

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$i\mapsto \left(\begin{array}{cc}\sqrt{-1}& 0\\ 0& -\sqrt{-1}\end{array}\right)$

$j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

$k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{-1}\\ \sqrt{-1}& 0\end{array}\right)$

Всі матриці мають одиничний детермінант, тому це представлення Q₈ в спеціальну лінійну група SL₂(C).

Також важливим є представлення Q₈ в 8 елементів 2-векторного простору над скінченним полем F₃:

$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm{G}\mathrm{L}(2,3)$

де

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$i\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$j\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

де {−1,0,1} елементами з поля F₃. Всі матриці мають одиничний детермінант над F₃, тому це представлення Q₈ в спеціальну лінійну групу SL(2, 3). Насправді Q₈ є нормальною підгрупою SL(2, 3) індексу 3.

Див. також

• Кватерніон Гурвіца
• Список малих груп

Джерела

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Кантор.Солодовников