Група Брауера

У математиці групою Брауера поля k називається група класів еквівалентності скінченновимірних центральних простих алгебр над полем k із груповою операцією заданою тензорним добутком.

Група Брауера була визначена і вивчалася в серії робіт Брауера, Нетер, Алберта, Гассе і інших починаючи з 20-х років 20 століття. Найповніші результати, аж до повного обчислення групи Брауера, були отримані для числових полів у зв'язку з розвитком теорії полів класів. У термінах групи Брауера формулюється загальна форма закону взаємності.

Узагальненням поняття групи Брауера є група Брауера—Гротендіка, що визначається аналогічно група Брауера з заміною центральних простих алгебр на алгебри Адзумаї.

Означення

Алгебра A над полем k називається центральною простою, якщо її центр є рівним k і вона є простим кільцем. Якщо А і В є двома центральними простими алгебрами над полем k, то і їх тензорний добуток $A{\otimes }_{k}B$ є центральною простою алгеброю.

Якщо A є центральною простою алгеброю над полем k то центральною простою алгеброю буде також обернена алгебра, тобто алгебра А^op побудована на тому самому векторному просторі із тією ж адитивною структурою і множенням на скаляр але із множенням заданим як $(ab{)}_{A^{op}}=(ba{)}_A.$ До того ж $A{\otimes }_k{A}^{op}\cong M(n,k),$ де n — розмірність А над полем k.

Згідно теореми Веддерберна скінченновимірна проста алгебра A є ізоморфною матричній алгебрі M(n,S) для деякого тіла S. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри A ~ M(n,S) і B ~ M(m,T) над полем F називаються подібними (еквівалентними за Брауером), якщо тіла S і T є ізоморфними.

Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри A і B над полем k є еквівалентними якщо для деяких натуральних чисел n і m алгебра $A{\otimes }_{k}M(n,k)$ є ізоморфною алгебрі $B{\otimes }_{k}M(m,k).$

З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна алгебра з діленням.

Для класів Брауера [A] і [B] тепер можна ввести $[A][B]=\left[A{\otimes }_{k}B\right]$. Дана операція є коректно визначеною, тобто якщо A ~ C і B ~ D (у введеному відношенні еквівалентності), то також $A{\otimes }_{k}B\sim C{\otimes }_{k}D$.

Оскільки $A{\otimes }_{k}k\cong k{\otimes }_{k}A\cong A$ то $[A][k]=[k][A]=[A]$ і клас еквівалентності поля k (який також містить всі повні матричні алгебри M(m,k)) є нейтральним елементом для даної бінарної операції.

Також [A][А^op ] = [А^op ][A] = [M(m,k)] = [k], тобто клас [А^op ] є оберненим до [A].

Із властивостей тензорного добутку також випливає, що введена операція є комутативною і асоціативною і тому множина класів еквівалентності із введеною операцією є абелевою групою, яка називається групою Брауера поля k і позначається $\text{Br}(k).$

Приклади

• Група Брауера дорівнює 0 для будь-якого сепарабельно замкнутого поля і будь-якого скінченного поля.
• Для поля дійсних чисел група Брауера є циклічною групою 2-го порядку і її ненульовий елемент — клас алгебри кватерніонів.
• Якщо k — поле p-адичних чисел або будь-яке повне дискретно нормоване локально компактне поле, то його група Брауера є ізоморфною $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (тут $\mathbb{Q}$ — адитивна група раціональних чисел, $\mathbb{Z}$ — адитивна група цілих чисел). Цей факт є важливим в локальній теорії полів класів.

Властивості

• Група Брауера є абелевою.
• Група Брауера завжди є періодичною групою. Порядок будь-якого її елемента ділить число n, де n^2 — ранг тіла, що представляє цей елемент.
• Група Брауера функторіально залежить від k, тобто якщо K — розширення поля k, то визначений гомоморфізм $\text{Br}(k)\to \text{Br}(K).$ Його ядро, що позначається $\text{Br}(K/k)$ складається з класів алгебр, що розщеплюються над К.

Теорія полів класів

Нехай k — поле алгебричних чисел скінченного степеня або поле алгебричних функцій від однієї змінної із скінченним полем констант. Тоді має місце точна послідовність груп:

$0\to \text{Br}(k)\stackrel{\text{inv}}{\to }\underset{v}{⨁}\text{Br}(k_v)\stackrel{\sum }{\to }𝐐/𝐙\to 0,$

де v пробігає всі нормування поля k, а $k_v$ — відповідні поповнення поля k, гомоморфізм $\text{inv}$ індукується природними вкладеннями $k\to k_v.$ Образ елемента з $\text{Br}(k)$ в $\text{Br}(k_v)$ називається локальним інваріантом, гомоморфізм $\sum$ є сумою локальних інваріантів. Цей факт встановлюється в глобальній теорії полів класів. Якщо k — поле алгебричних функцій від однієї змінної над алгебрично замкнутим полем констант, то його група Брауера є нульовою (теорема Тзена).

Когомології Галуа

Конструкції схрещених добутків за допомогою систем факторів призводять до когомологічної інтерпретації група Брауера. Для будь-якого нормального розширення K/k має місце ізоморфізм

$\text{Br}(K/k)\cong H^2(K,K^{*}),$

де $H^2(K,K^{*})$ — група двовимірних когомологій Галуа з коефіцієнтами в мультиплікативній групі $K^{*}$ поля K. Більш того, група $\text{Br}(k)$ є ізоморфною $H^2(\overline{k},{\overline{k}}^{*}),$ де $\overline{k}$ — сепарабельне замикання поля k. Зіставлення центральній простій алгебрі її класу в група Брауера здійснюється за допомогою кограничного оператора

$H^1(K,PGL(n))\to H^2(K,K^{*})$

в когомологічній послідовності для точної послідовності груп

$1\to G^{*}\to GL(n)\to PGL(n)\to 1.$

де $GL(n)$ і $PGL(n)$ — лінійна і проективна групи матриць порядку $n\prod n.$ Тут група $H^1(K,PGL(n))$ інтерпретується як множина класів з точністю до k-ізоморфізму центральних простих алгебр рангу $n^2$ над полем k, що розщеплюються над K або як множина класів k-ізоморфних многовидів Брауера — Севері розмірності n-1, що мають K-точку.

Когомологічна інтерпретація група Брауера дозволяє розглядати її як групу класів центральних розширень групи Галуа сепарабельного замикання $\overline{k}/k$ за допомогою групи ${\overline{k}}^{*}.$

Див. також

• Центральна проста алгебра

Література

• Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book