Просте кільце

Кільце $R$ називається простим, якщо $R^2\ne \{0\}$ і $R$ не має двосторонніх ідеалів, відмінних $R$ і $\{0\}$.

Приклади і теореми

• Розглянемо кільце $R$ таке, що $R^2\ne \{0\}$, і аддитивна група $⟨R+⟩$ має простий порядок. Тоді кільце $R$ — просте, оскільки в $⟨R+⟩$ немає власних підгруп.
• Асоціативне комутативне кільце $R$ з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли $R$ просте кільце.

Припустимо спершу, що $R$ задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай $x\in R$ деякий ненульових елемент. Тоді $Rx$ є ненульовим ідеалом оскільки $x=x\cdot 1\in Rx$. Зважаючи на простоту кільця одержуємо $Rx=R$. Звідси випливає існування елемента $y\in R$, такого що $yx=1$.

Навпаки, припустимо $R$ — деяке поле і $I$ його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент $x$ він також містить $r=r{x}^{-1}x$ для всіх $r\in R$, тобто $I=R$, що й доводить простоту.

• Якщо $P$— поле, $n$ — додатне ціле число, то кільце матриць $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(P,n)$ — просте.

Для доведення спершу позначимо $E_{i,j}$ матриці в яких на позиції $(i,j)$ стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати $E=\sum _{i=1}^n{E}_{i,i}$. Нехай тепер $I$ — деякий ненульовий ідеал, а $x\in I$ — ненульовий елемент. Виконується рівність

$x=ExE=\sum _{i,j}^{}{E}_{i,i}x{E}_{j,j}$. Для деякої пари $(i,j)$ виконується $y=E_{i,i}x{E}_{j,j}\ne 0$. Оскільки елементи $E_{i,j}$ є базисними то можна записати $y=\sum _{r,s}^{}{y}_{r,s}{E}_{r,s}$. Очевидно $y=y_{i,j}{E}_{i,j}{y}_{i,j}\ne 0$. Звідси одержуємо $E_{i,j}\in I$. З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно $I=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(P,n)$

• Центр простого кільця з одиницею є полем і кожне просте кільце є центральною простою алгеброю над своїм центром.

Нехай $a\in Z(R)$. Якщо цей лемент не є оборотним, то  $1\in ̸aR=Ra.$ Але тоді  $aR$ є нетривіальним двостороннім ідеалом.

Також для довільного $r\in R$ виконується рівність $a^{-1}r=a^{-1}(ra)a^{-1}=a^{-1}(ar)a^{-1}=r{a}^{-1}$. Тобто $a^{-1}\in Z(R)$ і центр кільця є полем.

Теорема Веддерберна — Артіна

Шаблон:Main Нехай $R$ — просте кільце Артіна. Тоді кільце $R$ ізоморфне кільцю всіх матриць порядку $n$ над деяким тілом. При цьому $n$ визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла $D$ кільце $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(D,n)$ є простим кільцем Артіна.

Література

• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.