Гармонічний осцилятор

Гармоні́чний осциля́тор — система (у класичній механіці), яка у разі зміщення зі стану рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається до попереднього стану під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку з механічними коливаннями):

$F=-kx$

де $k$ — додатна константа, що описує жорсткість системи.

Якщо $F$ — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонійним осцилятором. Вільними коливаннями такої системи, є періодичний рух навколо стану рівноваги (гармонійні коливання). Частота і амплітуда при цьому постійні, причому частота не залежить від амплітуди.

Якщо є ще й сила тертя (відбувається згасання коливань), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають згасаючим або дисипативним осцилятором. Коли тертя не дуже велике, то система робить майже періодичний рух — синусоїдальні коливання з постійною частотою і експоненціально спадною амплітудою. Частота вільних коливань згасаючого осцилятора виявляється дещо нижче, ніж у подібного осцилятора без тертя.

Якщо осцилятор існує сам собою, то кажуть, що він робить вільні коливання. Якщо ж є зовнішня сила (що залежить від часу), то говорять, що осцилятор виконує вимушені коливання.

Також, можна дати еквівалентне означення гармонічному осцилятору — це фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

$\ddot{q}(t)+{\omega }^{2}q(t)=0$,

де $q$ — узагальнена координата гармонічного осцилятора, $t$ — час, $\omega$ — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина $q$ здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор має центральне значення як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем поводять себе як гармонічні осцилятори у разі незначного відхилення від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах. Серед прикладів, варто вирізняти електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад ліфти, електронні системи в автомобілях, комп'ютери, акустичні системи, кавоварки).

Гармонічний осцилятор у класичній фізиці

Малі коливання маятника є гармонічними

Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

$K=\frac{m}{2}{\dot{q}}^2$.

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

$U=\frac{m{\omega }^2{q}^2}{2}$.

Відповідно, вважаючи величину $q$ узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцилятора записується

$ℒ=\frac{m{\dot{q}}^2}{2}+\frac{m{\omega }^2{q}^2}{2}$.

Узагальнений імпульс

$p=\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}}=\dot{q}.$

Функція Гамільтона

$\mathscr{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{q}^2}{2}$.

Вимушені коливання

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою ${\omega }_0$ під дією сили з частотою $\omega$описуються рівнянням

$\ddot{q}+{\omega }_0^{2}q=f_0\cos (\omega t-\phi )$,

де $f_0$ — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

$q=\frac{f_0}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos (\omega t-\phi )$.

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою $f_0/({\omega }_0^2-{\omega }^2)$. При $\omega \to {\omega }_0$ амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.

Гармонічний осцилятор із згасанням коливань

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини $q$. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

$\ddot{q}+\gamma \dot{q}+{\omega }^{2}q=0$.

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

$q=q_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t-\phi )$.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із згасанням

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

$q_0=\frac{f_0({\omega }_0^2-{\omega }^2)}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+{\gamma }^2{\omega }^2}$.

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$,

де g — прискорення вільного падіння, l — дожина маятника.

Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою

$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$,

де L — індуктивність, C — ємність.

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

Детальніше див. Квантовий осцилятор.

Спектр власних значень і власні функції

Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу $p$ на $-i\hslash \frac{d}{dq}$

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2}\frac{d^2}{d{q}^2}+\frac{1}{2}{\omega }^2{q}^2$.

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$.

Тут $n$ — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

$E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$.

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу $n$ задаються формулами

${\psi }_n=e^{-x^2/2}{H}_n(x)$,

де $x=q\sqrt{\omega /\hslash }$, а $H_n(x)$ — поліноми Ерміта.

При парному $n$ власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни $x$ на $-x$ (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператор народження

${\hat{a}}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash \omega }}(\omega q-i\hat{p})$

та оператор знищення

$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash \omega }}(\omega q+i\hat{p})$,

то

$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2})$.

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

$\hat{a}{\hat{a}}^{+}-{\hat{a}}^{+}\hat{a}=1$.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

${\psi }_n=\sqrt{n!}({\hat{a}}^{+}{)}^n{\psi }_0$,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

$|n>=\sqrt{n!}({\hat{a}}^{+}{)}^n|0⟩$.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

${\hat{a}}^{+}|n>=\sqrt{n+1}|n+1⟩$.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1⟩$

Оператор

$\hat{N}={\hat{a}}^{+}\hat{a}$

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

$\hat{N}|n>=n|n⟩$

Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою $\omega$.

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.

Див. також

• Гармонічні коливання
• Нормальні коливання
• Осцилятор Лоренца

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.

• Шаблон:Cite book, 415 с.

• Шаблон:Cite book