Узагальнений імпульс

Узагальнений імпульс - фізична змінна, яка визначається для кожної узагальненої координати механічної системи, й є водночас мірою швидкості зміни цієї координати та її інерційності.

Позначається зазвичай латинською літерою p.

Математичне визначення

Для механічної системи, що описується функцією Лагранжа $ℒ(q_i,{\dot{q}}_i,t)$, де $q_i$ узагальнені координати, а ${\dot{q}}_i$ - узагальнені швидкості, узагальнені імпульси $p_i$ для кожної з узагальнених координат визначаються співвідношенням:

$p_i=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}$.

Приклади

Нерелятивістська матеріальна точка

Наприклад, для матеріальної точки з масою m, що не взаємодіє з іншими тілами, функція Лагранжа дорівнює кінетичній енергії і має вигляд

$ℒ=\frac{m{𝐯}^2}{2}=\frac{m{\dot{𝐫}}^2}{2}$.

Узагальнений імпульс

$𝐩=\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐫}}=m\dot{𝐫}=m𝐯$,

тобто збігається із звичайним імпульсом. Це означення залишається справедливим і для випадку взаємодії, яка не залежить від швидкості матеріальної точки.

Обертання

При обертанні абсолютно твердого тіла навколо осі, узагальненою координатою є кут повороту $\phi$, узагальненою швидкістю - кутова швидкість $\omega$, а кінетична енергія дорівнює

$T=\frac{I{\omega }^2}{2}$,

де I - момент інерції.

Узагальнений імпульс в такому випадку дорівнює

$p=I\omega$

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Фазовий простір

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.