Алгебрична поверхня

Алгебрична поверхня — це алгебричний многовид розмірності два. У випадку геометрії над полем комплексних чисел алгебрична поверхня має комплексну розмірність два (як комплексний многовид, якщо він неособливий), а тому має розмірність чотири як гладкий многовид.

Теорія алгебричних поверхонь істотно складніша, ніж теорія алгебричних кривих (включно з компактними рімановими поверхнями, які є справжніми поверхнями (дійсної) розмірності два). Однак багато результатів отримала італійська школа алгебричної геометрії вже майже сто років тому.

Класифікація за розмірністю Кодайри

У разі розмірності одиниця многовиди класифікують тільки за топологічним родом, але в розмірності два різниця між арифметичним родом $p_a$ і геометричним родом $p_g$ стає суттєвою, оскільки ми не можемо розрізнити біраціонально лише топологічний рід. Ми вводимо для класифікації поверхонь поняття Шаблон:Не перекладено.

Приклади алгебричних поверхонь (тут κ — Шаблон:Не перекладено):

• κ=−∞: проєктивна площина, квадрика в P³, кубічні поверхні, поверхня Веронезе, Шаблон:Не перекладено, лінійчаті поверхні
• κ=0 : Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, Шаблон:Не перекладено, гіпереліптичні поверхні
• κ=1: Шаблон:Не перекладено
• κ=2: Шаблон:Не перекладено.

Інші приклади можна знайти в статті Шаблон:Не перекладено.

Перші п'ять прикладів фактично біраціонально еквівалентні. Тобто, наприклад, поле раціональних функцій на кубічній поверхні ізоморфне полю раціональних функцій на проєктивній площині, яке є полем раціональних функцій від двох змінних. Декартовий добуток двох кривих також є прикладом.

Біраціональна геометрія поверхонь

Біраціональна геометрія алгебричних поверхонь багата завдяки перетворенню «роздуття» (відомому також під назвою «моноїдальне перетворення»), за якого точка замінюється кривою всіх обмежених дотичних напрямків у ній (проєктивною прямою). Деякі криві можна стягнути, але існує обмеження (індекс самоперетину має дорівнювати −1).

Властивості

Шаблон:Не перекладено каже, що:

Дивізор D на поверхні S рясний тоді і тільки тоді, коли D² > 0 і D•C > 0 для всіх незвідних кривих C на S Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Рясний дивізор має ту корисну властивість, що він є прообразом дивізора гіперплощини деякого проєктивного простору, властивості якого добре відомі. Нехай $𝒟(S)$ - абелева група, що складається з усіх дивізорів на S. Тоді, за Шаблон:Не перекладено,

$𝒟(S)\times 𝒟(S)\to \mathbb{Z}:(X,Y)\mapsto X\cdot Y$

можна розглядати як квадратичну форму. Нехай

${𝒟}_0(S):=\{D\in 𝒟(S)|D\cdot X=0$ для всіх $X\in 𝒟(S)\}$

тоді $𝒟/{𝒟}_0(S):=Num(S)$ стає чисельно еквівалентною групою класів поверхні S і

$Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb{Z}=(\overline{D},\overline{E})\mapsto D\cdot E$

також стає квадратичною формою на $Num(S)$, де $\overline{D}$ є образом дивізора D на S. (Нижче для образу $\overline{D}$ використовується буква D.)

Для рясного пучка H на S визначення

$\{H{\}}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.$

призводить до версії Шаблон:Не перекладено на поверхні: для $D\in \{\{H{\}}^{\perp }|D\ne 0\},D\cdot D<0$, тобто $\{H{\}}^{\perp }$ є від'ємно визначеною квадратичною формою.

Цю теорему доведено за допомогою критерію Накаї і теореми Рімана — Роха для поверхні. Для всіх дивізорів з $\{H{\}}^{\perp }$ ця теорема істинна. Ця теорема не тільки є інструментом дослідження поверхонь, але її використовував Делінь для доведення гіпотез Вейля, оскільки вона істинна у всіх алгебрично замкнутих полях.

Базовими результатами в теорії алгебричних поверхонь є теорема Ходжа про індекс і розбиття на п'ять груп класів раціональної еквівалентності, відоме як Шаблон:Нп або класифікація алгебричних поверхонь. Клас загального типу з Шаблон:Не перекладено 2 дуже великий (наприклад, у ньому містяться неособливі поверхні степеня 5 і вище в P³).

Існує три основних числових інваріанти Ходжа для поверхні. Серед них h^1,0, який називається іррегулярністю і позначається як q, і h^2,0, який називається геометричним родом p_g. Третій інваріант, h^1,1, не є Шаблон:Не перекладено, оскільки роздуття може додати повні криві з класу H^1,1. Відомо, що Шаблон:Не перекладено є алгебричними і що Шаблон:Не перекладено збігається з гомологічною еквівалентністю, так що h^1,1 є верхньою межею для ρ, рангу Шаблон:Не перекладено. Арифметичний рід p_a дорівнює різниці: геометричний рід — іррегулярність.

Цей факт пояснює, чому іррегулярність так названо, оскільки є свого роду «залишковим членом».

Див. також

• Раціональна поверхня

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Вільна програма SURFER Шаблон:Webarchive для візуалізації алгебричних поверхонь
• SingSurf Шаблон:Webarchive — інтерактивний 3D-переглядач алгебричних поверхонь.
• Page on Algebraic Surfaces started in 2008 Шаблон:Webarchive
• Overview and thoughts on designing Algebraic surfaces Шаблон:Webarchive