Комплексна проєктивна площина

Комплексна проєктивна площина — двовимірний Шаблон:Не перекладено; є двовимірним комплексним многовидом, дійсна розмірність якого дорівнює 4.

Зазвичай позначається $ℂ{\mathrm{P}}^2$.

Побудова

Точки на комплексній проєктивній площині описуються однорідними комплексними координатами

$(z_1,z_2,z_3)\in {ℂ}^3,(z_1,z_2,z_3)\ne (0,0,0).$

При цьому трійки, що відрізняються на скаляр, вважаються ідентичними:

$(z_1,z_2,z_3)\equiv (\lambda z_1,\lambda z_2,\lambda z_3);\lambda \in ℂ,\lambda \ne 0.$

Топологія

• $ℂ{\mathrm{P}}^2$ гомеоморфний фактору 5-вимірної сфери ${𝕊}^5\subset {ℂ}^3$ за дією Гопфа ${𝕊}^1$.

• Числа Бетті:

  1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, …..

• $ℂ{\mathrm{P}}^2$ однозв'язний, його фундаментальна група тривіальна.
• Нетривіальними гомотопічними групами комплексної проєктивної площини є

  ${\pi }_2ℂ{\mathrm{P}}^2={\pi }_5ℂ{\mathrm{P}}^2=\mathbb{Z}$.

У старших розмірностях, гомотопічні групи ті самі, що в 5-вимірної сфери.

Алгебрична геометрія

У біраціональній геометрії комплексна раціональна поверхня — це будь-яка алгебрична поверхня, біраціонально еквівалентна комплексній проєктивній площині. Відомо, що будь-який несингулярний раціональний многовид виходить із площини внаслідок послідовності перетворень роздуття і зворотних до них («стягувань») кривих, які мають бути дуже специфічного виду. Як частковий випадок, несингулярні комплексні поверхні другого порядку в P³ виходять із площини після роздуття двох точок до кривих, а потім стягування прямої через ці дві точки. Зворотні до них перетворення можна бачити, якщо взяти точку $P$ на поверхні $Q$ другого порядку, роздути її, і спроєктувати на звичайну площину в P³, провівши прямі через $P$.

Групою біраціональних автоморфізмів комплексної проєктивної площини є група Кремони.

Диференціальна геометрія

Комплексна проєктивна площина є 4-вимірним многовидом. Вона має природну метрику, звану метрикою Фубіні-Штуді з 1/4-защепленою секційною кривиною; тобто її найбільша секційна кривина дорівнює 4, а мінімальна дорівнює 1. Ця метрика ініціюється на факторі $ℂ{\mathrm{P}}^2={𝕊}^5/{𝕊}^1$ за дією Гопфа ${𝕊}^1$ на ${𝕊}^5$.

Див. також

• Дійсна проєктивна площина
• Дійсна точка
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Уявна пряма (математика)
• Фальшива проєктивна площина

Література

• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:MathWorld