Інтегральна формула Коші

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять голоморфності (дифереційовності в околі) та аналітичності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема

Нехай функція $f(z)$ диференційовна в області $D$. Якщо скінченна область $G$ разом зі своєю межею $C=\partial G$ належить області $D$, а $\xi \in G$, то

${\oint }_C\frac{f(z)dz}{z-\xi }=2\pi if(\xi )$.

Доведення

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при $z=\xi$. Тому функція $\phi (z)=\frac{f(z)dz}{z-\xi }$ диференційовна в усіх точках області $D$ за винятком точки $z=\xi$. Візьмемо $\varrho >0$ настільки малим, щоб круг $|z-\xi |\le \varrho$ належав області $G$, і позначимо через $D^{\prime }$ область $D$, з якої видалено точку $\xi$, а через $G_{\rho }$ область $G$, з якої видалено круг $|z-\xi |\le \varrho$.

Функція $\phi (z)$ диференційовна в області $D^{\prime }$, і область $G_{\rho }$ лежить в області $D^{\prime }$ разом зі своєю межею (позначимо її через $C_{\rho }$). Отже, за інтегральною теоремою Коші інтеграл по $C_{\rho }$ від $f(z)$ дорівнює нулю. Проте $C_{\rho }$ складається з С та кола ${\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }:|z-\xi |=\varrho$. Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому $G_{\rho }$ залишається зліва, а круг $|z-\xi |<\varrho$ — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

${\oint }_C\phi (z)dz={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }}\phi (z)dz$

Інтеграл зліва не залежить від $\varrho$. Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення $\varrho$ можна обирати довільно. Отже:

${\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }}\phi (z)dz={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }}\frac{f(z)dz}{z-\xi }=f(\xi ){\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }}\frac{dz}{z-\xi }+{\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }}\frac{f(z)-f(\xi )}{z-\xi }dz=f(\xi )I_1+I_2$

Підінтегральний вираз в $I_2$ обмежений при $z\to \xi$: він прямує до $f^{\prime }(\xi )$. Так як довжина ${\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }$ дорівнює $2\pi \varrho$, а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то $I_2\to 0(\varrho \to 0)$. Інтеграл $I_1$ обчислюються при переході до параметричного запису рівняння кола ${\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }:z=\xi +\varrho e^{i\theta },0\le \theta \le 2\pi$:

${\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_{\varrho }}\frac{dz}{z-\xi }=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{i\varrho e^{i\theta }d\theta }{\varrho e^{i\theta }}=2\pi i$

Отже,

${\oint }_C\phi (z)dz=2\pi if(\xi )+o(1)(\varrho \to 0)$

Оскільки ліва частина рівності не залежить від $\varrho$, то теорему доведено.

Наслідки

Оскільки це центральна формула всього комплексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

• Поняття диференційовності та аналітичності еквівалентні;
• Якщо функція $f(z)$ має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки $z=a$, то коефіційєнти ряду визначаються формулою:

$C_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-a|=r}\frac{f(z)dz}{(z-a{)}^{n+1}},$

де r — довільне додатне дійсне число;

• Якщо функція $f(z)$ має похідні до n-ого порядку включно у точці $z=a$, то вони визначаються за формулою

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)dz}{(z-a{)}^{n+1}}$

Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;

• Терема про середнє. Значення функції $f(z)$, що є голоморфною в області $D$ в кожній скінченній точці $z_0\in D$ дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому колі з центром в точці $z_0$:

  $f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f\left(z_0+R{e}^{i\theta }\right)\mathrm{d}\theta$ Звідси, зокрема, випливає принцип максимуму модуля.

Більш загально, якщо функція $f(z)$ в околі точки $z_0$ розкладається в ряд Тейлора: $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-z_0{)}^n,$ (де $C_0=f(z_0)$) то

$C_n=\frac{1}{2\pi r^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f\left(z_0+R{e}^{i\theta }\right)e^{-in\theta }\mathrm{d}\theta .$

Ці формули випливають із параметризації колі з центром в точці $z_0$ і радіуса R: точки цього кола мають вигляд $z=z_0+R{e}^{i\theta },0⩽\theta <2\pi .$ Тоді із означення комплексних лінійних інтегралів і вказаної параметризації $\frac{dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}=\frac{i}{R^n}{e}^{-in\theta }$ і теореми про середнє одержуються із формули для коефіцієнтів ряду Тейлора вище.

• Друга теорема про середнє. Значення функції $f(z)$, що є голоморфною в області $D$ в кожній скінченній точці $z_0\in D$ дорівнює середньому арифметичному її значень на будь-якому досить малому крузі з центром в точці $z_0.$ Точніше для круга з центром у $z_0$ радіуса r можна записати:

$f(z_0)=\frac{1}{\pi r^2}\int \underset{|z-z_0|⩽r}{\int }f(z)dV,$

де подвійний інтеграл є стандартним інтегралом по крузі.

Для доведення подвійний інтеграл можна переписати через повторний у полярних координатах і використати попередню теорему про середнє:

$\frac{1}{\pi R^2}\int \underset{|z-z_0|⩽r}{\int }f(z)dV=\frac{1}{\pi R^2}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f\left(z_0+R{e}^{i\theta }\right)r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r=\frac{2}{R^2}\underset{0}{\overset{R}{\int }}f(z_0)r\mathrm{d}r=f(z_0).$

• Для комплексних інтегралів справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz=F(b)-F(a),$

де $F(z)$ — первісна для $f(z)$. Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад

Для функції

$g(z)=\frac{1-\sin z}{z^2(z-\frac{\pi }{2})(z+\pi )}$

обчислити значення інтегралу для контуру $C:|z|=4$

Розв’язання

Функція $g(z)$ має три особливі точки: $z_0=0,z_1=\frac{\pi }{2},z_2=-\pi$.

У першому випадку до даного контуру потрапляють всі особливості. Отже, інтеграл можна розбити на три:

${\oint }_C\frac{1-\sin z}{z^2(z-\frac{\pi }{2})(z+\pi )}dz={\oint }_{|z|=\varrho }\frac{\frac{1-\sin z}{(z-\frac{\pi }{2})(z+\pi )}}{z^2}dz+{\oint }_{|z|=\rho }\frac{\frac{1-\sin z}{z^2(z+\pi )}}{z-\frac{\pi }{2}}dz+{\oint }_{|z|=r}\frac{\frac{1-\sin z}{z^2(z-\frac{\pi }{2})}}{z+\pi }dz$

Числа $\varrho ,\rho ,r$ можна обрати будь-якими малими, аби вони не включили інших особливих точок функції. Отже, застосувавши інтегральну формулу Коші до кожного з інтегралів маємо:

${\oint }_C\frac{1-\sin z}{z^2(z-\frac{\pi }{2})(z+\pi )}dz=2\pi i(-\frac{(z_0-\frac{\pi }{2})(z_0+\pi )\cos z_0+(1-\sin z_0)(2z_0+\frac{\pi }{2})}{(z_0+\pi {)}^2{(z_0-\frac{\pi }{2})}^2}+\frac{1-\sin z_1}{z_1^2(z_1+\pi )}+\frac{1-\sin z_2}{z_2^2(z_2-\frac{\pi }{2})})=$

$=2\pi i(\frac{2}{{\pi }^2}-\frac{2}{{\pi }^3}-0-\frac{2}{3{\pi }^3})=\frac{4i}{3{\pi }^2}(3\pi -4)$

Джерела

• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.