Принцип максимуму модуля

Принцип максимуму модуля — теорема у комплексному аналізі, що описує одну з основних властивостей модуля голоморфних функцій.

Твердження

Якщо $f$ є голоморфною в деякій області $D\subset {ℂ}^n$ і існує точка $z_0\in D$ така, що у всій області $D$ виконується нерівність $|f(z_0)|⩾|f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.

Іншими словами, модуль голоморфної функції, відмінної від константи, не може мати локальних максимумів всередині області $G$.

Отже, якщо $f(z)$ є неперервною в обмеженій замкнутій області $D$ і голоморфною у внутрішніх точках, то найбільше значення модуля функції досягається тільки в граничних точках області $D$.

Доведення

Існує кілька доведень теореми. Зокрема принцип максимуму модуля є наслідком принципу збереження області.

Оскільки образом голоморфної функції на області теж є область, то для кожної точки образу існує круг, що належить образу. У цьому кругу, очевидно, існують точки як із більшим, так і з меншим модулем, ніж у центрі круга. Оскільки точка у образі функції вибрана довільно це завершує доведення.

Також теорему можна довести за допомогою теореми про середнє значення. Припустимо, що $z\in D$ точка в якій модуль функції приймає максимальне значення.

Нехай $r>0$, таке що $B_r\left(z\right)\subset D$. Згідно теореми про середнє значення:

$f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f\left(z+r{e}^{i\theta }\right)\mathrm{d}\theta$

Тоді:

$\left|f\left(z\right)\right|\le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left|f\left(z+r{e}^{i\theta }\right)\right|\mathrm{d}\theta \le \underset{\theta }{\max }\left|f\left(z+r{e}^{i\theta }\right)\right|$

Тому має виконуватися:

$\mathrm{\exists }\omega \in C_r\left(z\right):\left|f\left(z\right)\right|\le \left|f\left(\omega \right)\right|$

де $C_r\left(z\right)$ є колом радіуса $r$ з центром в точці $z$.

До того ж рівність можлива тільки тоді коли $\left|f\right|$ є константою на $C_r\left(z\right)$. Оскільки рівність виконується для всіх $r>0$, $\left|f\right|$ буде константою на $B_r\left(z\right)$. Тоді $f$ має бути константою на $D$, що суперечить умові.

Як наслідок:

$\mathrm{\exists }\omega \in C_r\left(z\right):\left|f\left(z\right)\right|<\left|f\left(\omega \right)\right|$

Наслідки

• Принцип мінімуму модуля. Якщо $f$ голоморфна в деякій області $G\subset {ℂ}^n$, що не є рівною нулю в жодній точці, і існує точка $z_0\in G$ така, що у всій області $G$ виконується нерівність $|f(z_0)|⩽|f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$. (Тобто локальні мінімуми модуля голоморфної функції, що не є рівною константі, можуть досягатися тільки в тих точках, де функція рівна нулю.)
• Принцип максимуму дійсної і уявною частини. Якщо для голоморфної функції $f(z)$ в точці $z_0\in G$ досягається локальний максимум (мінімум) її дійсної (або уявної) частини, то функція $f(z)$ є константою.

(Тут використовується звичайний принцип максимуму модуля для функцій $e^{f(z)}$ і $e^{if(z)}$, а також рівність $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm{R}\mathrm{e}f(z)}$.)

• Нехай $K\subset {ℂ}^n$ — компактна підмножина. Для будь-якої функції $f$, неперервної на $K$ і голоморфної всередині $K$, виконано рівність:

$\Vert f{\Vert }_K=\Vert f{\Vert }_{\partial K}.$ Якщо послідовність таких функцій рівномірно збігається на границі компакта $K$, тоді вона рівномірно збігається на всьому $K$.

Узагальнення

Твердження принципу максимуму модуля є справедливим і у випадку випадку, якщо $f(z)$ є голоморфною функцією на зв'язаному комплексному многовиді, зокрема на рімановій поверхні.

Замість голоморфності $f(z)$ у твердженні теореми достатньо припустити тільки, що $f(z)=u(z)+iv(z)$ — (комплексна) гармонічна функція, тобто $u(z),v(z)$ є гармонічними як дійсні функції двох дійсних змінних. Довільна голоморфна функція є комплексною гармонічною.

Для голоморфної функції $f(z)$ модуль $|f(z)|$ є логарифмічно субгармонічною функцією, тобто її логарифм є субгармонічною функцією.

Принцип максимуму модуля узагальнюється і на голоморфні відображення. Нехай $F=(f_1,\dots ,f_m):D\to {ℂ}^m$ — голоморфне відображення області $D$ в просторі ${ℂ}^n$, тобто $f_j$ — голоморфні функції і $\Vert F\Vert =\sqrt{|f_1{|}^2+\dots |f_m{|}^2}$ — евклідова норма. Тоді ні в якій точці функція $\Vert f(z)\Vert$ не може досягати локального максимуму.

Принцип максимуму модуля є справедливий щоразу, коли виконується принцип збереження області.

Див. також

• Лема Шварца
• Принцип збереження області

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Грищенко.ТФКЗ
• Шаблон:Citation
• Ludger Kaup, Burchard Kaup, Holomorphic functions of several variables:an introduction to the fundamental theory. Walter de Gruyter, 1983 ISBN 978-3110041507
• Шаблон:Citation.