4-швидкість

У фізиці, зокрема в спеціальній і загальній теоріях відносності, 4-швидкість (або чотиришвидкість) — 4-вектор у чотиривимірному просторі-часі, релятивістський аналог швидкості, яка є тривимірним вектором у просторі.

Фізичні події відповідають математичним точкам у часі та просторі, сукупність яких разом утворює математичну модель фізичного чотиривимірного простору-часу. Історія об'єкта відстежує криву в просторі-часі, називану його світовою лінією. Якщо об'єкт має Шаблон:Нп, а отже його швидкість обов'язково менша за швидкість світла, світову лінію можна параметризувати власним часом об'єкта. 4-швидкість — це швидкість зміни 4-положення відносно власного часу вздовж кривої. Швидкість, навпаки, — це швидкість зміни положення об'єкта в (тривимірному) просторі, як його бачить спостерігач, відносно часу спостерігача.

Величина 4-швидкості об'єкта, тобто величина, отримана застосуванням метричного тензора Шаблон:Math до 4-швидкості Шаблон:Math, тобто $\Vert 𝐔{\Vert }^2=𝐔\cdot 𝐔=g_{\mu \gamma }{U}^{\gamma }{U}^{\mu }$, завжди дорівнює Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — швидкість світла. Застосування знака плюс чи мінус залежить від вибору метричної сигнатури. Для нерухомого об'єкта його 4-швидкість паралельна напрямку координати часу з Шаблон:Math. Отже, 4-швидкість — нормалізований напрямлений у майбутнє часоподібний дотичний вектор до світової лінії та є контраваріантний вектор. Хоча це вектор, додавання двох 4-швидкостей не дає 4-швидкості: простір 4-швидкостей сам по собі не є векторним простором.

Швидкість

Шлях об'єкта в тривимірному просторі (в інерційній системі відліку) можна виразити через три функції просторової координати Шаблон:Math від часу Шаблон:Mvar, де Шаблон:Mvar — індекс, який набуває значень 1, 2, 3.

Три координати утворюють тривимірний радіус-вектор, який можна записати як вектор-стовпець$$\overrightarrow{x}(t)=\left[\begin{array}{c}{x}^1(t)\\ x^2(t)\\ x^3(t)\end{array}\right].$$Складові швидкості $\overrightarrow{u}$ (дотичної до кривої) в будь-якій точці світової лінії дорівнюють$$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ u^2\\ u^3\end{array}\right]=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\left[\begin{array}{c}\frac{d{x}^1}{dt}\\ \frac{d{x}^2}{dt}\\ \frac{d{x}^3}{dt}\end{array}\right].$$Кожна складова записується просто$$u^i=\frac{d{x}^i}{dt}$$

Теорія відносності

У теорії відносності Ейнштейна шлях об'єкта, що рухається відносно певної системи відліку, визначають чотири функції координат Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — індекс простору-часу, який має значення 0 для часоподібної складової, та 1, 2, 3 для простороподібних координат. Нульова складова визначається як часова координата, помножена на Шаблон:Math,$$x^0=ct,$$Кожна функція залежить від одного параметра τ, який називають її власним часом. Як вектор-стовпець:$$𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}^0(\tau )\\ x^1(\tau )\\ x^2(\tau )\\ x^3(\tau )\end{array}\right].$$

Уповільнення часу

З уповільненням часу диференціали Шаблон:Нп Шаблон:Mvar і власного часу Шаблон:Mvar пов'язані між собою$$dt=\gamma (u)d\tau$$де фактор Лоренца ,$$\gamma (u)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},$$є функцією евклідової норми Шаблон:Mvar тривимірного вектора швидкості Шаблон:Nobr$$u=\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{{\left(u^1\right)}^2+{\left(u^2\right)}^2+{\left(u^3\right)}^2}.$$

Визначення 4-швидкості

4-швидкість — 4-вектор, дотичний до Шаблон:Нп світової лінії. 4-швидкість $𝐔$ в будь-якій точці світової лінії $𝐗(\tau )$ визначається як:$$𝐔=\frac{d𝐗}{d\tau }$$де $𝐗$ — 4-положення, $\tau$ — власнний час.

4-швидкість, визначена тут за допомогою власного часу об'єкта, не існує для світових ліній безмасових об'єктів, таких як фотони, що рухаються зі швидкістю світла; також її не визначено для тахіонних світових ліній, де дотичний вектор простороподібний.

Складові 4-швидкості

Зв'язок між часом Шаблон:Mvar і часовою координатою Шаблон:Math визначається формулою$$x^0=ct.$$Взявши похідну від за власним часом Шаблон:Mvar, знаходимо складову швидкості Шаблон:Math для Шаблон:Math:$$U^0=\frac{d{x}^0}{d\tau }=\frac{d(ct)}{d\tau }=c\frac{dt}{d\tau }=c\gamma (u)$$і для інших 3 складових за власним часом отримуємо складові швидкості Шаблон:Math для Шаблон:Math:$$U^i=\frac{d{x}^i}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{dt}\frac{dt}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{dt}\gamma (u)=\gamma (u)u^i$$де ми використали правило диференціювання складеної функції та зв'язки$$u^i=\frac{d{x}^i}{dt},\frac{dt}{d\tau }=\gamma (u)$$Таким чином, знаходимо для 4-швидкості Шаблон:Nobr$$𝐔=\gamma \left[\begin{array}{c}c\\ \overrightarrow{u}\end{array}\right].$$У стандартній 4-векторній нотації це:$$𝐔=\gamma (c,\overrightarrow{u})=(\gamma c,\gamma \overrightarrow{u})$$де $\gamma c$ — часова складова, $\gamma \overrightarrow{u}$ — просторова складова.

З точки зору синхронізованих годинників і лінійок, пов'язаних із певною ділянкою плоского простору-часу, три простороподібні складові 4-швидкості визначають Шаблон:Нп рухомого об'єкта $\gamma \overrightarrow{u}=d\overrightarrow{x}/d\tau$, тобто швидкість, з якою відстань долається в еталонній системі відліку за одиницю власного часу, що минув на годиннику, який рухається з об'єктом.

На відміну від більшості інших 4-векторів, 4-швидкість має не 4, а лише 3 незалежні складові $u_x,u_y,u_z$. Коефіцієнт $\gamma$ є функцією тривимірної швидкості $\overrightarrow{u}$.

Коли деякий Шаблон:Нп помножити на 4-швидкість, то отримаємо новий фізичний 4-вектор, який має 4 незалежні складові.

Наприклад:

• 4-імпульс:

$𝐏=m_0𝐔=\gamma m_0(c,\overrightarrow{u})=m(c,\overrightarrow{u})=(mc,m\overrightarrow{u})=(mc,\overrightarrow{p})=(\frac{E}{c},\overrightarrow{p}),$

де $m_o$ — маса спокою

• Густина 4-струму:

$𝐉={\rho }_0𝐔=\gamma {\rho }_0(c,\overrightarrow{u})=\rho (c,\overrightarrow{u})=(\rho c,\rho \overrightarrow{u})=(\rho c,\overrightarrow{j})$

Фактично, коефіцієнт $\gamma$ поєднується зі скалярним членом Лоренца і утворює 4-ту незалежну складову$$m=\gamma m_o$$і$$\rho =\gamma {\rho }_o.$$

Величина

Використовуючи диференціал 4-положення в системі спокою, за допомогою метрики Мінковського зі сигнатурою Шаблон:Math можна отримати величину 4-швидкості:$${\Vert 𝐔\Vert }^2={\eta }_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }\frac{d{X}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{X}^{\nu }}{d\tau }=-c^2,$$Коротше кажучи, величина 4-швидкості будь-якого об'єкта завжди є фіксованою сталою:$${\Vert 𝐔\Vert }^2=-c^2$$У рухомій системі відліку така сама норма:$${\Vert 𝐔\Vert }^2={\gamma (u)}^2(-c^2+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}),$$так що:$$-c^2={\gamma (u)}^2(-c^2+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}),$$що зводиться до визначення фактора Лоренца.

Див. також

• 4-прискорення
• 4-імпульс
• 4-сила
• Шаблон:Нп
• Гіперболоїдна модель
• Стрімкість

Виноски

Коментарі

Примітки

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book