Вектор-рядки та вектор-стовпці

У лінійній алгебрі вектор-стовпець — це стовпець елементів, наприклад,

$𝒙=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right].$

Аналогічно, вектор-рядок — це рядок елементів:

$𝒂=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right].$

Всюди жирний курсивний шрифт використовується як для вектор-рядків, так і для вектор-стовпців. Транспонування (позначається як $\mathrm{T}$) вектор-рядка є вектор-стовпцем

${\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right],$

а транспонування вектор-стовпця є вектор-рядком

${\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_m\end{array}\right].$

Сукупність усіх вектор-рядків з $n$ елементами утворює $n$-вимірний векторний простір; аналогічно, множина всіх вектор-стовпців з $m$ елементами утворює $m$-вимірний векторний простір.

Простір вектор-рядків з $n$ елементами можна розглядати як дуальний простір простору вектор-стовпців з $n$ елементами, оскільки будь-який лінійний функціонал на просторі вектор-стовпців можна представити як множення зліва єдиного вектор-рядка.

Позначення

Щоб спростити запис вектор-стовпців у рядку з іншим текстом, іноді їх записують як вектор-рядки із застосуванням до них операції транспонування:

$𝒙={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

або

$𝒙={\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}.$

Деякі автори також використовують домовленість запису і вектор-стовпців і вектор-рядків як рядків, але розділяючи елементи вектор-рядка комами, а елементи вектор-стовпця крапками з комами (див. альтернативне позначення 2 у таблиці нижче).

	Вектор-рядок	Вектор-стовпець
Стандартне матричне позначення (пробіли в масиві, без ком, знаки транспонування)	$\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]\text{ або }{\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$
Альтернативне позначення 1 (коми, знаки транспонування)	$\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]$	${\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$
Альтернативне позначення 2 (коми та крапки з комами, без знаків транспонування)	$\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}{x}_1;x_2;\dots ;x_m\end{array}\right]$

Операції

Множення матриць включає дію множення кожного вектор-рядка однієї матриці на кожен вектор-стовпець іншої матриці.

Скалярний добуток двох вектор-стовпців $𝒂$ і $𝒃$ еквівалентний матричному добутку транспонованого вектора $𝒂$ та вектора $𝒃$:

$𝒂\cdot 𝒃={𝒂}^{\mathrm{T}}𝒃=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n.$

Внаслідок симетрії скалярного добутку добуток двох вектор-стовпців $𝒂$ і $𝒃$ також еквівалентний матричному добутку транспонованого вектора $𝒃$ та вектора $𝒂$:

$𝒃\cdot 𝒂={𝒃}^{\mathrm{T}}𝒂=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& \cdots & b_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n.$

Матричний добуток вектор-стовпця та вектор-рядка дає векторний добуток двох векторів $𝒂$ і $𝒃$, як приклад більш загального тензорного добутку. Матричний добуток вектор-стовпця $𝒂$ та вектор-рядка $𝒃$ дає елементи їхнього діадичного добутку

$𝒂\otimes 𝒃=𝒂{𝒃}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right],$

який є транспонуванням матричного добутку вектор-стовпця $𝒃$ і вектор-рядка $𝒂$:

$𝒃\otimes 𝒂=𝒃{𝒂}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1{a}_1& b_1{a}_2& b_1{a}_3\\ b_2{a}_1& b_2{a}_2& b_2{a}_3\\ b_3{a}_1& b_3{a}_2& b_3{a}_3\end{array}\right].$

Матричні перетворення

$n\times n$ матрицю $M$ можна представити як лінійне відображення та діяти на вектор-рядки та вектор-стовпці як матриця перетворення лінійного відображення. Для вектор-рядка $𝒗$ добуток $𝒗M$ є іншим вектор-рядком $𝒑$:

$𝒗M=𝒑.$

Інша $n\times n$ матриця $Q$ може діяти на $𝒑$:

$𝒑Q=𝒕.$

Тоді можна записати $𝒕=𝒑Q=𝒗MQ$. Отже, перетворення матричного добутку $MQ$ відображає $𝒗$ безпосередньо в $𝒕$. Продовжуючи роботу з вектор-рядками, матричні перетворення, які додатково переконфігурують $n$-простір, можна застосувати справа на вихідні дані.

Якщо вектор-стовпець перетворюється в інший вектор-стовпець під дією $n\times n$ матриці, то операція відбувається зліва:

${𝒑}^{\mathrm{T}}=M{𝒗}^{\mathrm{T}},{𝒕}^{\mathrm{T}}=Q{𝒑}^{\mathrm{T}},$

що приводить до алгебраїчного співвідношення $QM{𝒗}^{\mathrm{T}}$ для скомпонованих вихідних даних, які отримано з вхідних даних ${𝒗}^{\mathrm{T}}$. Матричні перетворення розташовуються зліва при такому використанні вектор-стовпця для входу в матричне перетворення.

Див. також

• Коваріантність і контраваріантність (математика)
• Шаблон:Нп
• Матриця одиниць
• Шаблон:Нп
• Стандартний базис
• Одиничний вектор

Джерела

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць