Релятивістське уповільнення часу

З точки зору системи відліку синього годинника, червоний годинник, що рухається, сприймається як такий, що йде повільшіше (утрирована схема).

Релятивістське уповільнення часу — ефекти уповільнення часу, що описуються в межах загальної та спеціальної теорій відносності. Шаблон:Джерело? та ненульова швидкість руху інерціальної системи відліку відносно непорушного спостерігача. Уповільнення часу не залежить від властивостей годинника, що вимірює час, і є наслідком властивостей простору-часу у певній точці, для якої визначається часовий інтервал.

Уповільнення часу в межах спеціальної теорії відносності

У межах спеціальної теорії відносності уповільнення часу є наслідком принципу рівноправності інерціальних систем відліку та перетворень Лоренца, що слідують із нього.

Можна розглянути дві події, просторово-часовий інтервал між якими є часоподібним. Відповідно, часові інтервали $\mathrm{\Delta }t$ та $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ між подіями, що розглядаються відносно нерухомої інерціальної системи відліку A, та інерціальної системи відліку A', що рухається, будуть різними. Можна прийняти, що відносно системи відліку A' простороподібний інтервал дорівнює нулю,

$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime },\mathrm{\Delta }{y}^{\prime },\mathrm{\Delta }{z}^{\prime }=0(1)$,

тобто, координати точки події в цій системі відліку не змінюються.

Якщо розглянути зв'язок часових інтервалів $\mathrm{\Delta }t$ та $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ у рамках перетворення Лоренца часової компоненти лінійного елементу інтервала $\mathrm{\Delta }s$ при переході від інерціальної системи відліку А' до інерціальної системи відліку А,

$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,

та врахувати, відповідно до $(1)$, що $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=0$, можна отримати кількісне співвідношення між :$\mathrm{\Delta }t$ та $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$:

$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(2)$.

При цьому

$\mathrm{\Delta }x=\frac{v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

З $(2)$ видно, що найкоротший часовий інтервал між двома подіями буде визначатись тоді, коли відносно інерціальної системи відліку, де знаходиться годинник, виконується умова $(1)$.

Якщо тепер розглянути об'єкт, що рухається відносно інерціальної системи відліку А по криволінійній траєкторії зі змінною у часі швидкістю $v$, і розбити його траєкторію на множину безкінечно малих інтервалів, на проходження яких відносно нерухомої інерціальної системи відліку потрібен час $dt$, то, відновідно годиннику у супутній локально-інерціальній інерціальної системи відліку, на проходження того ж інтервалу, згідно з $(2)$, буде потрібен час:

$d{t}^{\prime }=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Rightarrow dt=\frac{d{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.(3)$.

Тоді сумарний інтервал часу, що вимірюється відносно інерціальної системи відліку А, не залежить від прискорення й буде визначатися інтегралом виразу (3):

$t_2-t_1=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(4)$.

З $(4)$ видно, що часовий інтервал не залежить від прискорення.

Уповільнення часу у рамках загальної теорії відносності

У основі загальної теорії відносності лежить метричний тензор $g_{ik}(x)$, де $i,k=0,1,2,3$, який при зміні координат змінюється таким чином, що величина просторово-часового інтервалу між двома подіями з координатами $x^i$ та $x^i+d{x}^i$ залишається незмінною:

$d{s}^2=g_{ik}(x)d{x}^{i}d{x}^k=\text{inv}$.

Якщо прийняти, що

$d{x}^1=d{x}^2=d{x}^3$,

тобто — годинник нерухомий, можна отримати співвідношення між інтервалом світового,

$d\tau =\frac{ds}{c}$,

та власного,

$dt=\frac{d{x}^0}{c}(5)$,

часу. Для цього треба врахувати, що інтервал $d{s}^2$ світової лінії нерухомого годинника у гравітаційному потенціалі дорівнює

$d{s}^2=-c^2{d\tau }^2=-g_{00}{d{x}^0}^2(6)$.

Тоді, з урахуванням $(5)$, $(6)$ прийме вигляд:

$d{s}^2=-c^{2}d{\tau }^2=-c^2{g}_{00}{dt}^2$.

Звідси,

$d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$,

де $g_{00}=-(1+\frac{2\phi }{c^2})$ — функція $x$.

Загальний вираз для уповільнення часу

Нехай об'єкт нерухомий у деякий момент часу. Тоді інтервал між двома подіями, пов'язаними з об'єктом, буде мати вигляд:

$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2(7)$.

З іншого боку, $d{s}^2$ також дорівнює

$d{s}^2=d{\sigma }^2-(c^{*}d\tau {\gamma }_{\mu }-d{x}^{\mu }{)}^2(8)$,

де $d{\sigma }^2$ — квадратична форма диференціала $d{x}^{\mu }$, ${\gamma }_{\mu }$ — векторний гравітаційний потенціал, $c^{*}=c\sqrt{-g_{00}}$ — середня швидкість світла, ортогональна вектору ${\gamma }_{\mu }$.

Прирівнявши $(8)$ до виразу $(7)$, можна отримати:

$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2=d{\sigma }^2-(c^{*}d\tau -{\gamma }_{\mu }d{x}^{\mu }{)}^2⟺cdt=\sqrt{(c^{*}d\tau -{\gamma }_{\mu }d{x}^{\mu }{)}^2-d{\sigma }^2}(9)$.

Провівши з $(9)$ перетворення

$dt=\sqrt{\frac{1}{c^2}(d{\tau }^2((c^{*}-\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }{)}^2)-d{\sigma }^2)}=d\tau \sqrt{(\frac{c\sqrt{-g_{00}}}{c}-{\gamma }_{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{cd\tau }{)}^2-(\frac{d\sigma }{cd\tau }{)}^2}=d\tau \sqrt{(\sqrt{-g_{00}}-{\gamma }_{\mu }\frac{v_{\mu }}{c}{)}^2-\frac{v^2}{c^2}}(10)$.

Якщо інерційна система відліку часоортогональна, то ${\gamma }_{\mu }=0$ і вираз $(10)$ набуде вигляду:

$dt=d\tau \sqrt{-g_{00}-\frac{v^2}{c^2}}=d\tau \sqrt{1+\frac{2\phi }{c^2}-\frac{v^2}{c^2}}$,

де $\phi$ — скалярний гравітаційний потенціал.

Див. також

• Гравітаційне червоне зміщення
• Гравітаційне уповільнення часу
• Загальна теорія відносності
• Парадокс близнят
• Експеримент Хафеле — Кітінга

Література

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4