4-прискорення

4-прискорення (чотири-прискорення, чотириприскорення) в релятивістській кінематиці — чотиривектор, що узагальнює класичне прискорення і визначений як похідна 4-швидкості за власним часом частинки:

$𝐀=\frac{d𝐔}{d\tau }=({\gamma }_u{\dot{\gamma }}_{u}c,{\gamma }_u^2𝐚+{\gamma }_u{\dot{\gamma }}_u𝐮)=({\gamma }_u^4\frac{(𝐚\cdot 𝐮)}{c},{\gamma }_u^2𝐚+{\gamma }_u^4\frac{(𝐚\cdot 𝐮)}{c^2}𝐮),$

$𝐚=\frac{d𝐮}{dt}$ — 3-прискорення,

$\mathit{\beta }=𝐮/c$ — безрозмірнісна 3-швидкість,

${\dot{\gamma }}_u=\frac{𝐚\mathbf{\cdot }𝐮}{c^2}{\gamma }_u^3=\frac{𝐚\mathbf{\cdot }𝐮}{c^2}\frac{1}{{(1-\frac{u^2}{c^2})}^{3/2}}$

і ${\gamma }_u$ — лоренц-фактор для 3-швидкості Шаблон:Math. Крапка над змінною означає похідну за координатним часом у цій системі відліку, а не за власним часом $\tau .$

У миттєвій супутній інерційній системі відліку $𝐮=0,$ ${\gamma }_u=1$ і ${\dot{\gamma }}_u=0,$ тобто в такій системі відліку

$𝐀=(0,𝐚).$

Геометрично 4-прискорення є вектором кривини світової лінії.

Таким чином, модуль 4-прискорення (який є інваріантним скаляром) дорівнює власному прискоренню, яке «відчуває» частинка, що рухається вздовж своєї світової лінії. Світові лінії, що мають постійну величину 4-прискорення, є колами Мінковського, тобто гіперболами (див. Гіперболічний рух).

Навіть за релятивістських швидкостей 4-прискорення пов'язане з 4-силою, що діє на частинку, формулою, що узагальнює класичний другий закон Ньютона:

$F^{\mu }=m{A}^{\mu };$

де Шаблон:Math — маса частинки.

Скалярний добуток 4-швидкості та відповідного 4-прискорення завжди дорівнює нулю. Це легко побачити, продиференціювавши тотожність $𝐔\cdot 𝐔\equiv c^2$ за власним часом: $\frac{d}{d\tau }(𝐔\cdot 𝐔)=2\frac{d𝐔}{d\tau }\cdot 𝐔=2𝐀\cdot 𝐔\equiv \frac{d}{d\tau }{c}^2=0.$ Отже, 4-прискорення та співнапрямлена з нею відповідна 4-сила, що діють на частинку, завжди ортогональні її 4-швидкості (і співнапрямленому з 4-швидкістю 4-імпульсу $p^{\mu }=m{U}^{\mu }$) — на відміну від класичної механіки.

У загальній теорії відносності компоненти чотиривектора прискорення пов'язані з компонентами 4-швидкості коваріантною похідною за власним часом:

$A^{\lambda }:=\frac{D{U}^{\lambda }}{d\tau }=\frac{d{U}^{\lambda }}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }$

(Шаблон:Math — символи Крістофеля).

У спеціальній теорії відносності координати зазвичай виражають у прямолінійній інерційній системі відліку, так що член із символами Крістофеля зникає, але іноді, коли автори для опису прискореної системи використовують криволінійні координати, система відліку не є інерційною, але фізика все одно залишається спецрелятивістською, оскільки метрика є просто координатним перетворенням метрики простору Мінковського. У такому разі слід використати наведений вище вираз, оскільки тут не всі символи Крістофеля дорівнюють нулю.

Коли 4-сила дорівнює нулю, на частинку діє тільки гравітація, і чотиривекторна версія другого закону Ньютона (див. вище) зводиться до рівняння геодезичної. Частинка, що здійснює геодезичний рух, має нульове значення для кожного компонента 4-вектора прискорення. Це узгоджується з тим, що гравітація не є силою.

Див. також

• 4-вектор
• 4-імпульс
• 4-сила
• 4-швидкість
• Прискорення

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга