Умова Гельдера

Умова Гельдера — нерівність, що обмежує зміну значення функції через зміну її аргумента. Є узагальненням умови Ліпшіца. Функції, що задовольняють умови Гельдера утворюють повний нормований простір, що називається простором Гельдера. Простори Гельдера відіграють важливу роль в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Означення

Нехай Шаблон:Math et Шаблон:Math є метричними просторами, функція Шаблон:Math називається Шаблон:Math-гельдеровою в точці $y\in X$ якщо для всіх $x\in X,$ виконується умова Гельдера:

$d_Y(f(x),f(y))\le C(y)d_X(x,y{)}^a.$

Число Шаблон:Math є дійсним невід'ємним, переважно розглядаються випадки $a\in (0,1].$ У випадку $a=1$ умова Гельдера зводиться до умови Ліпшіца.

Якщо функція задовольняє умову Гельдера з коефіцієнтом Шаблон:Math в усіх точках деякої підмножини метричного простору то її називають Шаблон:Math-гельдеровою на всій множині. Часто проте при визначенні гельдерових функцій на деякій множині $\mathrm{\Omega }$ розглядають лише функції для яких $C=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }C(y)<\mathrm{\infty },$ тобто для яких умову Гельдера можна записати з одною константою для всіх точок:

$d_Y(f(x),f(y))\le C{d}_X(x,y{)}^a,\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{\Omega }.$

Особливо важливим є випадок дійсних чи комплексних функцій на підмножинах евклідового простору. В цьому випадку наприклад остання рівномірна умова Гельдера записується як:

$|f(x)-f(y)|\le C\parallel x-y{\parallel }^a$

Простори Гельдера

На множині дійсних чи комплексних функцій визначених на підмножині евклідового простору, що задовольняють (рівномірну) умову Гельдера можна ввести Шаблон:Math-напівнорму Гельдера:

$|f{|}_a=\underset{x\ne y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^a}.$

Множина функцій, що мають на відкритій підмножині $\mathrm{\Omega }$ неперервні похідні до порядку k включно і всі похідні порядку k яких є Шаблон:Math-гельдеровими на $\mathrm{\Omega }$ позначається $C^{k,a}.$

Ці множини називаються просторами Гельдера.

Кожна функція, що належить $C^{k,a}$ також належить $C^k$ — простору функцій, що мають неперервні похідні до порядку k включно. На $C^k$ визначається норма:

$|f{|}_{C^k}=\sum _{|\alpha |⩽k}|f^{\alpha }(x){|}_{\mathrm{\infty }}$

де $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$ — мультиіндекс, $|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$ і ${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\underset{2}{\overset{{\alpha }_2}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}=\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\partial x_2^{{\alpha }_2}\dots \partial x_n^{{\alpha }_n}}.$

Тоді на просторах Гельдера можна ввести ще одну норму:

$|f{|}_{C^{k,a}}=|f{|}_{C^k}+\sum _{|\alpha |=k}|f^{\alpha }(x){|}_a.$

Разом із цією нормою простори Гельдера на замиканні зв'язаної обмеженої множини $\mathrm{\Omega }$ в евклідовому просторі є повними нормованими просторами.

Властивості

• Нехай $\overline{\mathrm{\Omega }}$ — замикання деякої обмеженої зв'язаної області в евклідовому просторі. Якщо $k+a⩽l+b,k,l\in \mathbb{Z},0<a,b⩽1,$то існує вкладення просторів Гельдера:

$C^{l,b}(\overline{\mathrm{\Omega }})\to C^{k,a}(\overline{\mathrm{\Omega }}),$

і окрім того $|f{|}_{C^{k,a}}⩽A|f{|}_{C^{l,b}},$ де константа A не залежить від функції $f\in C^{l,b}.$

• Для $0<a<b$ одинична куля в просторі $C^{k,b}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ є компактною в просторі $C^{k,a}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ і відповідно кожна обмежена множина функцій з $C^{k,b}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ містить підпослідовність, що в метриці простору $C^{k,a}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ збігається до функції з простору $C^{k,a}(\overline{\mathrm{\Omega }})$.

Приклади

• Функція f(x) = x^β (де β ≤ 1) визначена на проміжку [0, 1] належить простору C^0,α для 0 < α ≤ β, але не для α > β. Якщо f визначити аналогічно на проміжку $[0,\mathrm{\infty })$, вона належатиме простору C^0,α лише для α = β.
• Для α > 1, єдиними рівномірно α–гельдерівськими функціями на інтервалі [0, 1] є константи.
• Функція визначена на інтервалі [0, 1/2] як $f(x)=f(n)=\{\begin{array}{cc}0,& x=0\\ \frac{1}{\log (x)},& x\in (0,1/2]\end{array}$ є рівномірно неперервною але не задовольняє умову Гельдера для жодного показника.
• Функція Кантора задовольняє умову Гельдера для показників α ≤ log(2)/log(3) і не задовольняє для більших чисел. Коли вона задовольняє умову то у визначенні можна взяти рівномірно константу C = 2.
• Крива Пеано з [0, 1] на квадрат [0, 1]² може бути побудована так, що вона буде рівномірно 1/2–гельдерівською.

Див. також

• Ліпшицеве відображення

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book