Теорема Ньютона

P лежить на лінії Ньютона EF

В геометрії Евкліда теорема Ньютона стверджує, що в кожному описаному чотирикутнику, крім ромба, центр вписаного кола лежить на прямій Ньютона.

Нехай ABCD — описаний чотирикутник, що має не більше однієї пари паралельних сторін. Крім того, нехай E і F — середини його діагоналей AC і BD, а точка P — центр вписаного кола. Тоді точка P розташована на прямій Ньютона, тобто прямій EF, що з'єднує середини діагоналей.

Описаний чотирикутник з двома парами паралельних сторін є ромбом. У цьому випадку середини діагоналей, як і центр вписаного кола, збігаються, і за визначенням не існує прямої Ньютона.

Теорему Ньютона легко отримати з теореми Енна, враховуючи, що в описаних чотирикутниках сума двох протилежних сторін дорівнює сумі двох інших сторін (теорема Піто: a + c = b + d). Тепер, відповідно до теореми Енна, сума площ трикутників PAD і PBC та сума площ трикутників PAB і PCD рівні, а цього достатньо для того, щоб точка P лежала на прямій EF.

Нехай r — радіус вписаного кола, тоді r — також висота всіх чотирьох трикутників. Тоді

$\begin{array}{cc}& S(\mathrm{△}PAB)+S(\mathrm{△}PCD)=\\ =& \frac{1}{2}ra+\frac{1}{2}rc=\frac{1}{2}r(a+c)=\\ =& \frac{1}{2}r(b+d)=\frac{1}{2}rc+\frac{1}{2}rd=\\ =& S(\mathrm{△}PBC)+S(\mathrm{△}PAD)\end{array}$

Узагальнення

Існує певне узагальнення теореми Ньютона: Шаблон:SfnШаблон:Rp

Якщо вписати еліпс в опуклий чотирикутник, то його центр лежить на прямій Ньютона.

Література

• Клауді Альсіна, Роджер Б. Нельсен: Чарівні доведення: подорож до елегантної математики. MAA, 2010, Шаблон:ISBN, с. 117–118 (Шаблон:Google books)
• Шаблон:Citation

Посилання

• Шаблон:Ref-enТеореми Ньютона та Леона Енна Шаблон:Webarchive на cut-the-knot.org