Теорема Енна

Суми площ протилежних трикутників рівні, тобто $|\mathrm{△}BCL|+|\mathrm{△}DAL|=$ $|\mathrm{△}LAB|+|\mathrm{△}DLC|$

В Евклідовій геометрії Теорема Енна Шаблон:SfnШаблон:Rp описує рівність певних площ у опуклому чотирикутнику.

Названа на честь французького математика П'єра-Леона Анна (Енна) (1806—1850).

Опис

В теоремі зазначено: Шаблон:SfnШаблон:Rp, Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:SfnШаблон:Rp,

Нехай ABCD — опуклий чотирикутник з діагоналями AC і BD, який не є паралелограмом. Точки E, F — середини цих діагоналей, а L — довільна точка всередині ABCD.

Якщо сполучити L з вершинами чотирикутника, утвориться чотири трикутники ALB, BLC, CLD та DLA. Якщо дві суми площ протилежних трикутників рівні, тоді точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує E і F.

Існує багато доказів цієї теореми. Наступний доказ належить австралійському математику Безілу Ренні. Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:Hider

Отже, згідно теореми Енна: S_ΔBCL+S_ΔDAL=S_ΔLAB+S_ΔDLC, якщо точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує середини діагоналей E і F чотирикутника.

Прямої Ньютона не існує для паралелограма, оскільки його діагоналі діляться навпіл точкою перетину. А тотожність площ виконується для будь-якої внутрішньої точки паралелограма.

Для описаного чотирикутника, теорема Ньютона є прямим наслідком теореми Енна. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Теорема Енна є оборотною. Шаблон:SfnШаблон:Rp Тобто якщо точка лежить на відрізку лінії Ньютона, що знаходиться всередині чотирикутника, то виконується рівність сум площ зазначених трикутників.

Джерела

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, Шаблон:ISBN, pp. 116–117 (Шаблон:Google books)
• Шаблон:Книга Шаблон:Google books

• Шаблон:CitationШаблон:Webarchive

• Шаблон:Citation

Посилання

• Newton's and Léon Anne's Theorems at cut-the-knot.org
• Шаблон:MathWorld