Теорема Лефшеца про нерухому точку

Теорема Лефшеца про нерухому точку — результат у алгебричній топології про існування нерухомих точок неперервного відображення в себе для досить широких класів топологічних просторів.

Число Лефшеца

Нехай $X$— зв'язний компактний орієнтовний топологічний многовид або скінченний CW-комплекс (зокрема поліедр — простір гомеоморфний скінченному симпліційному комплексу). У цих випадках сингулярні гомологічні групи $H_{*}(X,\mathbb{Q})$ (для поліедрів еквівалентно симпліційні гомологічні групи) над полем $\mathbb{Q}$ є скінченновимірними векторними просторами. Нехай $C_n(X,\mathbb{Q}),Z_n(X,\mathbb{Q}),B_n(X,\mathbb{Q}),H_n(X,\mathbb{Q})$ — стандартні позначення для n-их компонент елементів відповідних ланцюгових комплексів, циклів, границь і гомологічних груп (деталі у статті Ланцюговий комплекс).

Якщо $f:X\to X$ — неперервне відображення, то воно задає лінійні відображення $f_{*}^n:H_n(X,\mathbb{Q})\to H_n(X,\mathbb{Q})$ Нехай $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{*}^n)$ — слід лінійного перетворення.

За означенням, числом Лефшеца відображення $f$ називається число

${\mathrm{\Lambda }}_f=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{*}^n).$

Властивості числа Лефшеца

• Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то ${\mathrm{\Lambda }}_f={\mathrm{\Lambda }}_g.$

• У випадку, наприклад, скінченного симпліційного комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення $f:X\to X$ задає лінійні відображення $f_n:S_n(X,\mathbb{Q})\to S_n(X,\mathbb{Q})$ на скінченновимірних просторах $S_n(X,\mathbb{Q}),$ елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліційного комплексу. Відображення $f_n$ одержуються, наприклад композицією відображень $f_n:C_n(X,\mathbb{Q})\to C_n(X,\mathbb{Q})$ на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліційних і сингулярних гомологій. Тоді:

${\mathrm{\Lambda }}_f=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\mathrm{T}\mathrm{r}(f_n).$

Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліційного випадку. Для доведення позначимо відображення ${f_n}^{\prime }:B_n(X,\mathbb{Q})\to B_n(X,\mathbb{Q})$ і ${\overline{f}}_n:S_n(X,\mathbb{Q})/Z_n(X,\mathbb{Q})\to S_n(X,\mathbb{Q})/Z_n(X,\mathbb{Q})$. Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_n)=\mathrm{T}\mathrm{r}({f_n}^{\prime })+\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{*}^n)+\mathrm{T}\mathrm{r}({\overline{f}}_n)$. Але граничний гомоморфізм $\partial$ задає ізоморфізми ${\overline{\partial }}_n:C_n(X,\mathbb{Q})/Z_n(X,\mathbb{Q})\to B_{n-1}(X,\mathbb{Q})$ і ${\overline{f}}_n={\overline{\partial }}_n^{-1}\circ {f_n}^{\prime }\circ {\overline{\partial }}_n$, а тому $\mathrm{T}\mathrm{r}({\overline{f}}_n)=\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{n^{\prime }-1})$. Остаточний результат одержується підстановкою виразу $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{*}^n)$ через $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_n),\mathrm{T}\mathrm{r}({f_n}^{\prime })$ і $\mathrm{T}\mathrm{r}({\overline{f}}_n)$ у формулу числа Лефшеца і скороченням $\mathrm{T}\mathrm{r}({\overline{f}}_n)$ і $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{n^{\prime }-1}),$ які будуть мати різні знаки.

• Якщо у випадку скінченного симпліційного комплексу взяти $f=1_X$ (одиничне відображення на просторі $X$) то $1_{*}^n:H_n(X,\mathbb{Q})\to H_n(X,\mathbb{Q})$ є одиничними відображеннями на гомологічних групах і $\mathrm{T}\mathrm{r}(1_n)$ є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліційні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому ${\mathrm{\Lambda }}_{1_X}=\chi (X)$, тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.

Теорема Лефшеца

Найпростіший варіант теореми Лефшеца стверджує, що якщо ${\mathrm{\Lambda }}_f\ne 0$ то неперервне відображення $f:X\to X$ має хоча б одну нерухому точку, тобто елемент $x\in X$, для якого $f(x)=x$.

Формула Лефшеца

Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення $f:X\to X$ ізольовані.

Для кожної нерухомої точки $x\in X$, позначимо через $i(x)$ її індекс Кронекера (локальний степінь відображення $f$ в околі точки $x$). Тоді формула Лефшеца для $X$ і $f$ має вигляд

$\sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)={\mathrm{\Lambda }}_f.$

Доведення

Нижче подано доведення для поліедрів — просторів гомеоморфних скінченному симпліційному комплексу.

Припустимо, що $K$ є підмножиною деякого евклідового простору $R^m$, і $d$ — стандартна метрика у $R^m$. Оскільки простір $|K|$ є компактним і $f$ не має нерухомих точок, $d(x,f(x))$ досягає свого мінімального значення $\delta >0$, у деякій точці $|K|$. Нехай $n$ — ціле число, для якого $\mathrm{mesh}{K}^{(n)}<\frac{\delta }{2}$, і $g:|K^{(n+t)}|\to |K^{(n)}|$ — симпліційне наближення до відображення $f:|K^{(n)}|\to |K^{(n)}|$ (деталі щодо позначень і термінології у статті Симпліційний комплекс).

Якщо $h:|K^{(n+t)}|\to |K^{(n)}|$ є симпліційним наближенням до одиничного відображення, то $g\simeq f\simeq fh$, тож $g_{*}=f_{*}{h}_{*}$. Але $h_{*}$ є оберненим ізоморфізмом до ${\varphi }_{*}^t$, де $\varphi$ є гомоморфізмом барицентричного підрозбиття ланцюгових комплексів; звідси $f_{*}=g_{*}{\varphi }_{*}^t$, тож $g{\varphi }^t:C(K^{(n)})\to C(K^{(n)})$ є гомоморфізмом ланцюгових комплексів, що породжує $f_{*}$.

Зважаючи на еквівалентне означення числа Лефшеца достатньо довести, що для кожного симплекса $\sigma \in K^{(n)}$, значенням $g{\varphi }^t(\sigma )$ є лінійна комбінація симплексів жоден з яких не є рівним $\sigma$, бо у цьому випадку очевидно $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_r)=0$. Припустимо, що $\sigma$ є симплексом для якого $g{\varphi }^t(\sigma )$ містить $\sigma$. Тоді оскільки ${\varphi }^t(\sigma )$ є лінійною комбінацією симплексів, що містяться у $\sigma$, отримуємо, що образом хоча б одного з них при відображенні $g$ є $\sigma$, а тому існує точка $x\in \sigma$ для якої також $g(x)\in \sigma$ і тому $d(x,g(x))⩽\mathrm{mesh}{K}^{(n)}<\frac{\delta }{2}$. Але з властивостей симпліційного наближення випливає, що $f(x)$ і $g(x)$ належать деякому спільному симплексу і тому $d(f(x),g(x))<\frac{\delta }{2}$. Звідси $d(x,f(x))<d(x,g(x))+d(f(x),g(x))<\delta$, що суперечить означенню числа $\delta$.

Застосування

Властивості просторів зі скінченними гомологічними групами

Для скінченного лінійно зв'язного симпліційного комплексу K, для якого гомологічні групи $H_n(K)=H_n(K,\mathbb{Z})$є скінченними для всіх $n>0$, то будь-яке неперервне відображення $f:|K|\to |K|$має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що $H_n(K,\mathbb{Q})\simeq H_n(K,\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Q}$ і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується $G\otimes Q=0$(тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору $H_n(K,\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Q}$ і для будь-якого неперервного відображення $f:|K|\to |K|$породжений гомоморфізм $f_{*}^0:H_0(X,\mathbb{Q})\to H_0(X,\mathbb{Q})$є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно $\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{*}^0)$і тому ${\mathrm{\Lambda }}_f=1.$

Наслідками цього твердження є:

• Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то $H_n(K)=0$ для всіх $n>0$то будь-яке неперервне відображення $f:|K|\to |K|$має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
• Для дійсного проективного простору $ℝ{\mathbb{P}}^n$де $n$є парним числом для всіх $r>0$гомологічні групи $H_r(K)$є рівними $0$або ${\mathbb{Z}}_2$і тому будь-яке неперервне відображення $f:ℝ{\mathbb{P}}^n\to ℝ{\mathbb{P}}^n$має нерухомі точки.

Неперервні відображення на сферах

Нехай тепер $f:S^n\to S^n$ — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є $H_0(S^n,\mathbb{Q})\simeq H_n(S^n,\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Q}$ і $f_{*}^0:H_0(X,\mathbb{Q})\to H_0(X,\mathbb{Q})$є одиничним лінійним відображенням, а $f_{*}^n:H_n(X,\mathbb{Q})\to H_n(X,\mathbb{Q})$задається як $f_{*}^n(\sigma )=d\sigma$для деякого раціонального числа d. Тоді ${\mathrm{\Lambda }}_f=1+(-1{)}^{n}d=0$ і тому $d=(-1{)}^{n+1}$.

• Наслідком цього твердження є те, що для парного числа $n$для довільного неперервного відображення $f:S^n\to S^n$ гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер $S^{2n}$.

Компактні групи Лі

Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного $g\in G$ відображення

$f_g:X\to X{f}_g(xT)=gxT$

є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення $f_g$ є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що $\chi (X)=|N(T)/T|,$ тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.

З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення $f_g$ має нерухому точку для якої $xT=gxT$. Тоді зокрема $x^{-1}gx\in T$, тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент $g$такий, що множина степенів $g^n$є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.

Див. також

• Симпліційний комплекс
• Сингулярні гомології
• Теорема Брауера про нерухому точку

Література

• Шаблон:Citation