Теорема Абеля — Руффіні

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах — для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).

Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:

$x^5\pm x-1=0$

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння $n$-го степеня має $n$ комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Історія

Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в його доведенні були прогалини. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок $S_n$ коренів многочленів.

При $n\ge 5$ група перестановок $S_n$ не є розв'язною.

Доведення теореми

Нехай

$y_1$ — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел $\mathbb{Q}$,

$y_2$ — трансцендентне над розширенням $\mathbb{Q}(y_1)$, і так далі до

$y_5$ — трансцендентне над $\mathbb{Q}(y_1,y_2,y_3,y_4)$.

Позначимо $E=\mathbb{Q}(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5),$ тоді:

$f(x)=(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)(x-y_4)(x-y_5)\in E[x].$

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що $f(x)$ є симетричною функцією відносно $y_n,$ оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

$s_1=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5$

$s_2=y_1{y}_2+y_1{y}_3+\cdots +y_4{y}_5$

і так далі до

$s_5=y_1{y}_2{y}_3{y}_4{y}_5.$

Кожна перестановка $\sigma$ групи $S_5$ означає автоморфізм ${\sigma }^{\prime }$ на $E$ що залишає $\mathbb{Q}$ нерухомим та переставляє $y_n.$ Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже $E$ також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

$|G(E/F)|=|S_5|=5!$

Єдиним розкладом $S_5$ є

$S_5\ge A_5\ge \{e\}$ (де $A_5$ — альтернативна група).

Факторгрупа $A_5/\{e\}$ (ізоморфна самій $A_5$) не є абелевою групою, тому $S_5$ не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівнянь

• Абелеві рівняння
• Зворотне рівняння

Див. також

• Квадратне рівняння
• Кубічне рівняння
• Рівняння четвертого степеня
• Дискретне перетворення Абеля
• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Посилання

• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:YouTube Шаблон:Ref-en

Література

• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Артін.Теорія Галуа
• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Ленг.Алгебра