Абелеві рівняння (алгебраїчні)

Шаблон:Otheruses Абелеві рівняння — спеціальний клас алгебраїчних рівнянь, що розв'язуються в радикалах.

Опис

В своєму мемуарі «Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement» (з французької Про спеціальний клас рівнянь, що розв'язується в радикалах), Абель вказує на три важливі властивості, що притаманні цим типам рівнянь. Вони наступні:

1. Якщо один із коренів незвідного многочлена $f$ раціонально виражається через інший корінь, то розв'язання рівняння $f(x)=0$ зводиться до розв'язування рівнянь менших степенів.
2. Якщо корені незвідного многочлена $f$ мають вигляд $x_1,$ $\mathrm{\Theta }(x_1),$ ${\mathrm{\Theta }}^2(x_1)=\mathrm{\Theta }(\mathrm{\Theta }(x_1)),\dots ,{\mathrm{\Theta }}^{n-1}(x_1),$ де $\mathrm{\Theta }$ — така раціональна функція, що ${\mathrm{\Theta }}^n(x_1)=x_1,$ то рівняння $f(x)=0$ розв'язується в радикалах.
3. Якщо корені незвідного многочлена $f$ мають вигляд $x_1,$ ${\mathrm{\Theta }}_2(x_1),$ ${\mathrm{\Theta }}_3(x_1),\dots ,{\mathrm{\Theta }}_n(x_1),$ де ${\mathrm{\Theta }}_i$ — такі раціональні функції, що ${\mathrm{\Theta }}_i{\mathrm{\Theta }}_j(x_1)={\mathrm{\Theta }}_j{\mathrm{\Theta }}_i(x_1),$ то рівняння $f(x)=0$ розв'язується в радикалах.

Джерела

• XXV: Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement Шаблон:Webarchive, Про спеціальний клас рівнянь, що розв'язується в радикалах (1829).
• Шаблон:Прасолов.Многочлени