Дискретне перетворення Абеля

Перетворення Абеля є дискретним аналогом інтегрування частинами і також іноді називається сумуванням частинами. Перетворення широко використовується у теорії рядів для дослідження збіжності рядів, наприклад при доведенні ознак Абеля і Діріхле.

Формула перетворення

Нехай $(a_k),(b_k)$ для $(k\in \mathbb{N})$ є послідовностями дійсних чисел і $B_0=0,$ а для $k⩾1$ за означенням $B_k=b_1+b_2+\dots +b_k.$

Тоді для $n⩾m⩾1$ виконується рівність:

$\sum _{k=m}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-a_m{B}_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k.$

Якщо $m=1$ можна простіше записати:

$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k.$

Оскільки $b_k=B_k-B_{k-1}$ то еквівалентно формулу можна записати як:

$\sum _{k=m}^n{a}_k(B_k-B_{k-1})=a_n{B}_n-a_m{B}_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k.$

У цьому записі помітна аналогія із формулою інтегрування частинами:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)dv(x)=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(x)du(x).$

Доведення

$\begin{array}{cc}\sum _{k=m}^n{a}_k{b}_k& =\sum _{k=m}^n{a}_k(B_k-B_{k-1})=\\ & =\sum _{k=m}^n{a}_k{B}_k-\sum _{k=m}^n{a}_k{B}_{k-1}=\\ & =\sum _{k=m}^n{a}_k{B}_k-\sum _{k=m-1}^{n-1}{a}_{k+1}{B}_k=\\ & =a_n{B}_n+\sum _{k=m}^{n-1}{a}_k{B}_k-\sum _{k=m}^{n-1}{a}_{k+1}{B}_k-a_m{B}_{m-1}=\\ & =a_n{B}_n-a_m{B}_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k,\end{array}$

Оцінка сум добутків двох чисел

Дискретне перетворення використовується для оцінок сум виду $\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k,$ які використовуються для дослідження збіжностей числових рядів.

Нехай $(a_k)$ є монотонною послідовністю. Тоді у сумі у правій частині рівності

$\sum _{k=m}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k$

всі $a_{k+1}-a_k$ мають один знак і тому із цієї формули випливає:

$\left|\sum _{k=m}^n{a}_k{b}_k\right|⩽\left|a_n\right|\underset{k=1,\dots ,n}{\max }|B_k|-\sum _{k=1}^{n-1}|a_{k+1}-a_k|\underset{k=1,\dots ,n}{\max }|B_k|=(|a_1|+2|a_n|)\underset{k=1,\dots ,n}{\max }|B_k|.$

Тобто остаточно:

$\left|\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right|⩽(|a_1|+2|a_n|)\cdot \underset{k=1,\dots ,n}{\max }|B_k|.$

Якщо $(a_k)$ є спадною послідовністю додатних чисел, то простіше:

$\left|\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right|⩽a_1\cdot \underset{k=1,\dots ,n}{\max }|B_k|.$

Див. також

• Інтегрування частинами
• Ознака Абеля
• Ознака Діріхле
• Теорема Абеля — Руффіні
• Формула сумування Абеля

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр