Рівняння електромагнітної хвилі

Рівняння електромагнітної хвилі - це диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку, за допомогою якого можна описати поширення електромагнітних хвиль у середовищі або у вакуумі . Це тривимірна форма хвильового рівняння . Однорідна форма рівняння, записана через електричне поле Шаблон:Math або магнітне поле Шаблон:Math, має вигляд:

$\begin{array}{cc}(v_{ph}^2{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄& =\mathrm{𝟎}\\ (v_{ph}^2{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁& =\mathrm{𝟎}\end{array}$

де

$v_{ph}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$

- швидкість світла (тобто фазова швидкість ) у середовищі з магнітною проникністю Шаблон:Mvar та діелектричною проникністю Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math - оператор Лапласа . У вакуумі Шаблон:Math метрів на секунду - основна фізична стала . Рівняння електромагнітної хвилі випливає з рівнянь Максвелла . У більшості старих літературних джерел Шаблон:Math називають густиною магнітного потоку або магнітною індукцією .

Походження рівняння електромагнітної хвилі

Листівка від Максвелла до Пітера Тейта .

У своїй статті 1865 року під назвою «Динамічна теорія електромагнітного поля» Максвелл використав виправлення до циркулярного закону Ампера, яке він вніс у частину III статті 1861 року « Про фізичні сили». У частині VI своєї роботи 1864 року, під назвою "Електромагнітна теорія світла" Максвелл поєднав струм переміщення з деякими іншими рівняннями електромагнетизму, і отримав хвильове рівняння зі швидкістю, що дорівнює швидкості світла. Він прокоментував:

Узгодженість результатів, здається, показує, що світло і магнетизм - це вплив однієї і тієї ж речовини, і що світло - це електромагнітне збурення, що поширюється полем відповідно до електромагнітних законів.

Висновок Максвелла про рівняння електромагнітних хвиль було замінено у сучасній фізичній освіті набагато менш громіздким методом, що передбачає поєднання виправленої версії закону Ампера з законом Індукції Фарадея .

Щоб отримати рівняння електромагнітної хвилі у вакуумі за допомогою сучасних методів, ми почнемо з сучасної форми рівнянь Максвелла у формі " Хевісайда" . У просторі без вакууму та заряду ці рівняння:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄& =0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐄& =-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐁& ={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\\ \end{array}$

Це загальні рівняння Максвелла, спеціалізовані для випадку із зарядом і струмом, що дорівнюють нулю. Прийняття вихрів рівнянь завитки дає:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)& =\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}\\ \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)& =\mathrm{\nabla }\times \left({\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\right)={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}\end{array}$

Ми можемо використовувати векторну ідентичність

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕$

де Шаблон:Math - будь-яка векторна функція простору. І

${\mathrm{\nabla }}^2𝐕=\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }𝐕\right)$

де Шаблон:Math - діада, яка при дії оператора розбіжності Шаблон:Math дає вектор. Оскільки

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄& =0\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =0\end{array}$

тоді перший доданок справа в тотожності зникає, і ми отримуємо хвильові рівняння:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄& =0\\ \frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2𝐁& =0\end{array}$

де

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times 10^8\text{m/s}$

- швидкість світла у вільному просторі.

Коваріантна форма однорідного хвильового рівняння

Розширення часу в поперечному русі. Вимога про постійну швидкість світла в кожній інерційній системі відліку призводить до спеціальної теорії відносності .

Ці релятивістські рівняння можна записати у противаріантній формі як

$◻A^{\mu }=0$

де електромагнітний чотирипотенціал

$A^{\mu }=(\frac{\varphi }{c},𝐀)$

з каліброваною умовою Лоренца :

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0,$

і де

$◻={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

є оператором д'Аламбера.

Однорідне хвильове рівняння в криволінійному просторі-часі

Рівняння електромагнітної хвилі модифікується двома способами, похідна замінюється коваріантною похідною і з'являється новий доданок, який залежить від кривизни.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }{A}^{\beta }=0$

де ${R^{\alpha }}_{\beta }$ є тензором кривизни Річчі, а крапка з комою вказує на коваріантну диференціацію.

Припускається узагальнення каліброваної умови Лоренца в кривому просторі-часі:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

Рівняння неоднорідної електромагнітної хвилі

Локалізовані в часі змінні густини заряду і струму можуть виступати джерелами електромагнітних хвиль у вакуумі. Рівняння Максвелла можна записати у вигляді хвильового рівняння з джерелами. Додавання джерел до хвильових рівнянь робить диференціальні рівняння з частинними похідними неоднорідними.

Рішення однорідного рівняння електромагнітної хвилі

Загальним рішенням рівняння електромагнітної хвилі є лінійна суперпозиція хвиль виду

$𝐄(𝐫,t)=g(\varphi (𝐫,t))=g(\omega t-𝐤\cdot 𝐫)$

$𝐁(𝐫,t)=g(\varphi (𝐫,t))=g(\omega t-𝐤\cdot 𝐫)$

для практично будь -якої належної функції Шаблон:Mvar безрозмірного аргументу Шаблон:Mvar, де Шаблон:Mvar - кутова частота (у радіанах за секунду), а Шаблон:Math - хвильовий вектор (у радіанах на метр).

Хоча функція Шаблон:Mvar може бути і часто є монохроматичною синусоїдою, вона не повинна бути синусоїдальною або навіть періодичною. На практиці Шаблон:Mvar не може мати нескінченну періодичність, оскільки будь-яка реальна електромагнітна хвиля завжди повинна мати кінцевий ступінь у часі та просторі. Як результат, на основі теорії розкладання Фур'є, реальна хвиля повинна складатися з суперпозиції нескінченного набору синусоїдальних частот.

Крім того, для дійсного рішення хвильовий вектор і кутова частота не є незалежними; вони повинні дотримуватися дисперсійного відношення :

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$

де Шаблон:Mvar - число хвилі, а Шаблон:Mvar - довжина хвилі . Змінна Шаблон:Mvar може бути використана в цьому рівнянні лише тоді, коли електромагнітна хвиля знаходиться у вакуумі.

Монохроматичний, синусоїдальний стаціонарний стан

Найпростіший набір рішень хвильового рівняння випливає з припущення синусоїдальних сигналів однієї частоти у відокремлюваній формі:

$𝐄(𝐫,t)=\mathrm{\Re }\{𝐄(𝐫)e^{i\omega t}\}$

де

Шаблон:Mvar - уявна одиниця ,

Шаблон:Math- кутова частота в радіанах за секунду ,

Шаблон:Math- частота в герцах, і

$e^{i\omega t}=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$ - формула Ейлера .

Рішення плоских хвиль

Розглянемо площину, визначену одиничним нормальним вектором

$𝐧=\frac{𝐤}{k}.$

Тоді площинні хвильові розв'язки хвильових рівнянь є

$𝐄(𝐫)={𝐄}_0{e}^{-i𝐤\cdot 𝐫}$

$𝐁(𝐫)={𝐁}_0{e}^{-i𝐤\cdot 𝐫}$

де Шаблон:Math - вектор положення (у метрах).

Ці рішення представляють плоскі хвилі, що рухаються в напрямку нормального вектора Шаблон:Math . Якщо визначити напрямок z як напрямок Шаблон:Math . і напрям x як напрямок Шаблон:Math, тоді за законом Фарадея магнітне поле лежить в напрямку y і пов'язане з електричним полем відношенням

$c^2\frac{\partial B}{\partial z}=\frac{\partial E}{\partial t}.$

Оскільки розбіжності електричного та магнітного полів дорівнюють нулю, полів у напрямку розповсюдження немає.

Це рішення є лінійно поляризованим рішенням хвильових рівнянь. Існують також циркулярно поляризовані розчини, в яких поля обертаються навколо нормального вектора.

Спектральне розкладання

Через лінійність рівнянь Максвелла у вакуумі розчини можна розкласти на суперпозицію синусоїд . Це основа для методу перетворення Фур'є для розв'язку диференціальних рівнянь. Синусоїдальний розчин рівняння електромагнітної хвилі набуває вигляду

$𝐄(𝐫,t)={𝐄}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)$

$𝐁(𝐫,t)={𝐁}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)$

де

Шаблон:Mvar - час (у секундах),

Шаблон:Mvar - кутова частота (в радіанах за секунду),

Шаблон:Math - хвильовий вектор (в радіанах на метр), і

${\varphi }_0$ - фазовий кут (у радіанах).

Хвильовий вектор пов'язаний з кутовою частотою на

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$

де Шаблон:Mvar - число хвилі, а Шаблон:Mvar - довжина хвилі .

Електромагнітний спектр - це графік величин поля (або енергій) як функції довжини хвилі.

Багатополюсне розширення

Припускаючи, що монохроматичні поля змінюються в часі як $e^{-i\omega t}$, якщо використовувати рівняння Максвелла для усунення Шаблон:Math, рівняння електромагнітної хвилі зводиться до рівняння Гельмгольца для Шаблон:Math :

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)𝐄=0,𝐁=-\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times 𝐄,$

з k = ω / c, як зазначено вище. Як варіант, можна виключити Шаблон:Math на користь Шаблон:Math щоб отримати:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)𝐁=0,𝐄=-\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times 𝐁.$

Загальне електромагнітне поле з частотою Шаблон:Mvar можна записати як суму розв’язків цих двох рівнянь. Тривимірні рішення рівняння Гельмгольца можна виразити як розкладання сферичних гармонік з коефіцієнтами, пропорційними сферичним функціям Бесселя . Однак застосування цього розширення до кожної векторної складової Шаблон:Math або Шаблон:Math дасть рішення, які загалом не мають розбіжностей ( Шаблон:Math ), а отже, вимагають додаткових обмежень на коефіцієнти.

Багатополюсне розширення обходить цю складність, розширюючи не Шаблон:Math або Шаблон:Math, а Шаблон:Math або Шаблон:Math в сферичні гармоніки. Ці розширення все ще вирішують вихідні рівняння Гельмгольца для Шаблон:Math та Шаблон:Math оскільки для поля, що не розходиться, Шаблон:Math, Шаблон:Math . Отримані вирази для загального електромагнітного поля є:

$𝐄=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}\sqrt{l(l+1)}[a_E(l,m){𝐄}_{l,m}^{(E)}+a_M(l,m){𝐄}_{l,m}^{(M)}]$

$𝐁=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}\sqrt{l(l+1)}[a_E(l,m){𝐁}_{l,m}^{(E)}+a_M(l,m){𝐁}_{l,m}^{(M)}]$ ,

де ${𝐄}_{l,m}^{(E)}$ і ${𝐁}_{l,m}^{(E)}$ - електричні багатополюсні поля порядку (l, m), і ${𝐄}_{l,m}^{(M)}$ і ${𝐁}_{l,m}^{(M)}$ - відповідні магнітні багатополюсні поля, а Шаблон:Math та Шаблон:Math - коефіцієнти розширення. Багатополюсні поля задаються

${𝐁}_{l,m}^{(E)}=\sqrt{l(l+1)}[B_l^{(1)}{h}_l^{(1)}(kr)+B_l^{(2)}{h}_l^{(2)}(kr)]{\mathrm{\Phi }}_{l,m}$

${𝐄}_{l,m}^{(E)}=\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times {𝐁}_{l,m}^{(E)}$

${𝐄}_{l,m}^{(M)}=\sqrt{l(l+1)}[E_l^{(1)}{h}_l^{(1)}(kr)+E_l^{(2)}{h}_l^{(2)}(kr)]{\mathrm{\Phi }}_{l,m}$

${𝐁}_{l,m}^{(M)}=-\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{l,m}^{(M)}$ ,

де h _l ^(1,2) ( x ) - сферичні функції Ганкеля, E _l ^(1,2) та B _l ^(1,2) визначаються граничними умовами, і

${\mathrm{\Phi }}_{l,m}=\frac{1}{\sqrt{l(l+1)}}(𝐫\times \mathrm{\nabla })Y_{l,m}$

- векторні сферичні гармоніки, нормовані так, що

$\int {\mathrm{\Phi }}_{l,m}^{*}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{l^{\prime },m^{\prime }}d\mathrm{\Omega }={\delta }_{l,l^{\prime }}{\delta }_{m,m^{\prime }}.$

Багатополюсне розширення електромагнітного поля знаходить застосування в ряді проблем, що включають сферичну симетрію, наприклад, діаграми випромінювання антен або ядерний гамма-розпад . У цих додатках часто цікавить потужність, що випромінюється в далекому полі . У цих регіонах поля Шаблон:Math та Шаблон:Math асимптотують до

$𝐁\approx \frac{e^{i(kr-\omega t)}}{kr}\sum _{l,m}(-i{)}^{l+1}[a_E(l,m){\mathrm{\Phi }}_{l,m}+a_M(l,m)\widehat{𝐫}\times {\mathrm{\Phi }}_{l,m}]$

$𝐄\approx 𝐁\times \widehat{𝐫}.$

Тоді кутовий розподіл усередненої за часом потужності випромінювання визначається як

$\frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}\approx \frac{1}{2k^2}{|\sum _{l,m}(-i{)}^{l+1}[a_E(l,m){\mathrm{\Phi }}_{l,m}\times \widehat{𝐫}+a_M(l,m){\mathrm{\Phi }}_{l,m}]|}^2.$

Дивитися також

Теорія та експеримент

• Рівняння Максвелла
• Хвильове рівняння
• Диференціальне рівняння з частинними похідними
• Обчислювальний електромагнетизм
• Електромагнітне випромінювання
• Закон збереження електричного заряду
• Світло
• Електромагнітний спектр
• Оптика

• Спеціальна теорія відносності
• Загальна теорія відносності
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw

Застосування

• Rainbow
• Реліктове випромінювання
• Лазер
• Інерційне утримання плазми
• Фотографія
• X-ray
• Рентгеноструктурний аналіз
• Радар

• Радіохвилі
• Фотонний комп'ютер
• Голографія
• Мікроскоп
• Телескоп
• Гравітаційна лінза
• Випромінювання чорного тіла

Біографії

• Андре-Марі Ампер
• Альберт Ейнштейн
• Майкл Фарадей
• Генріх Герц
• Олівер Гевісайд
• Джеймс Клерк Максвелл

Подальше читання

Електромагнетизм

Журнальні статті

• Максвелл, Джеймс Клерк, " Динамічна теорія електромагнітного поля ", Філософські угоди Лондонського королівського товариства 155, 459-512 (1865). (Ця стаття супроводжувала презентацію Максвелла 8 грудня 1864 р. Перед Королівським товариством. )

Підручники для студентів

• Шаблон:Cite bookШаблон:Cite book Шаблон:Cite book

Підручники вищого рівня

• Шаблон:Cite bookШаблон:Cite book Шаблон:Cite book
• Ландау, Л.Д., Класична теорія полів ( Курс теоретичної фізики : Том 2), (Баттерворт-Хайнеман: Оксфорд, 1987).Шаблон:ISBN .
• Шаблон:Cite bookШаблон:Cite book Шаблон:Cite book
• Чарльз В. Міснер, Кіп С. Торн, Джон Арчібальд Вілер, Гравітація, (1970) WH Freeman, Нью-Йорк;Шаблон:ISBN . (Надає трактування рівнянь Максвелла з точки зору диференціальних форм. )

Векторні числення

• PC Matthews Vector Calculus, Springer 1998,Шаблон:ISBN
• Х. М. Шей, Дів Град Керл і все таке: Неформальний текст про векторне числення, 4-е видання (WW Norton & Company, 2005)Шаблон:ISBN .