Розсіяння Баба

Діаграми Фейнмана
Анігіляція
Розсіяння

Розсіяння Бабá (англ. Bhabha scattering) є процесом електрон-позитронного розсіяння у квантовій електродинаміці:

$e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$

Існують дві діаграми Фейнмана провідного порядку, що вносять вклад в амплітуду розсіяння: процес анігіляції та процес розсіяння. Розсіяння Баба названо на честь індійського фізика Хомі Баба.

Амплітуда розсіяння Баба використовується як монітор світності в електрон-позитронних колайдерах.

Використання

Розсіяння Баба використовувалось як монітор світності в ряді експериментів на e⁺e^– колайдерах, наприклад, на Великому електрон-позитронному колайдері. Точне вимірювання світності необхідно для точних вимірювань перерізів інших, більш рідкісних, процесів.

Електрон-позитронні колайдери, що працюють в районі низько розташованих адронних резонансів (приблизно від 1 до 10 ГеВ), такі як Пекінський електронний синхротрон (BES) та «B-фабрики» Belle II and BaBar, використовують розсіяння Баба на великі кути як монітор світності. Для досягнення бажаної точності на рівні 0,1 % експериментальні вимірювання необхідно порівняти з теоретичним розрахунком, що має включати квантово-електродинамічні поправки другого порядку. Високоточне вимірювання загального адронного перерізу при цих низьких енергіях є вирішальним вкладом у теоретичний розрахунок аномального магнітного моменту мюона, який використовується для пошуку фізики поза межами Стандартної моделі.

Диференційний переріз

У першому наближенні, усереднений за спіном диференціальний переріз для цього процесу можна описати як

$\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}(\cos \theta )}=\frac{\pi {\alpha }^2}{s}(u^2{(\frac{1}{s}+\frac{1}{t})}^2+{\left(\frac{t}{s}\right)}^2+{\left(\frac{s}{t}\right)}^2)$

де s, t і u — змінні Мандельштама, $\alpha$ — стала тонкої структури, і $\theta$ — кут розсіювання.

Цей поперечний переріз нехтує масою електрона (вважаючи її значно меншою за енергію процесу), і включає лише внесок від обміну фотонами. Це наближення добре працює за енергій зіткнень, що є малими порівняно з масою Z-бозону, близько 91 ГеВ: при вищих енергіях також стає важливим внесок від обміну Z-бозонів.

Змінні Мандельштама

У цій статті змінні Мандельштама визначаються як

$s=$	$(k+p{)}^2=$	$(k^{\prime }+p^{\prime }{)}^2\approx$	$2k\cdot p\approx$	$2k^{\prime }\cdot p^{\prime }$
$t=$	$(k-k^{\prime }{)}^2=$	$(p-p^{\prime }{)}^2\approx$	$-2k\cdot k^{\prime }\approx$	$-2p\cdot p^{\prime }$
$u=$	$(k-p^{\prime }{)}^2=$	$(p-k^{\prime }{)}^2\approx$	$-2k\cdot p^{\prime }\approx$	$-2k^{\prime }\cdot p$

де наближення справедливі для високих (релятивістських) енергій.

Виведення неполяризованого перерізу

Матричні елементи

Як діаграма розсіяння, так і діаграма анігіляції вносять внесок у матричний елемент процесу. Якщо позначити 4-імпульс позитрона як k і k' , а 4-імпульс електрона як p і p' , і використовуючи правила Фейнмана, можна вивести наступні матричні елементи:

			де ${\gamma }^{\mu }$ — гамма-матриці Дірака, $u,\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overline{u}$ — 4-спінори для ферміонів, а $v,\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overline{v}$ — 4-спінори для анти-ферміонів (див. Рівняння Дірака).
	(розсіяння)	(анігіляція)
$ℳ=$	$-e^2\left({\overline{v}}_k{\gamma }^{\mu }{v}_{k^{\prime }}\right)\frac{1}{(k-k^{\prime }{)}^2}\left({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\mu }{u}_p\right)$	$+e^2\left({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{u}_p\right)\frac{1}{(k+p{)}^2}\left({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{v}_{k^{\prime }}\right)$

Зверніть увагу, що між двома діаграмами є різниця у знаку.

Квадрат матричного елемента

Для обчислення неполяризованого перерізу потрібно усереднити за можливими значеннями спінів вхідних частинок (s_e- та s_e+) і підсумувати за спінами вихідних частинок. Це,

$\overline{|ℳ{|}^2}$	$=\frac{1}{(2s_{e-}+1)(2s_{e+}+1)}\sum _{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}}|ℳ{|}^2$
	$=\frac{1}{4}\sum _{s=1}^2\sum _{s^{\prime }=1}^2\sum _{r=1}^2\sum _{r^{\prime }=1}^2|ℳ{|}^2$

Спочатку можна обчислити $|ℳ{|}^2$:

$|ℳ{|}^2$=	$e^4{\left|\frac{({\overline{v}}_k{\gamma }^{\mu }{v}_{k^{\prime }})({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\mu }{u}_p)}{(k-k^{\prime }{)}^2}\right|}^2$	(розсіяння)
	$-e^4{\left(\frac{({\overline{v}}_k{\gamma }^{\mu }{v}_{k^{\prime }})({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\mu }{u}_p)}{(k-k^{\prime }{)}^2}\right)}^{*}\left(\frac{({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{u}_p)({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{v}_{k^{\prime }})}{(k+p{)}^2}\right)$	(інтерференція)
	$-e^4\left(\frac{({\overline{v}}_k{\gamma }^{\mu }{v}_{k^{\prime }})({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\mu }{u}_p)}{(k-k^{\prime }{)}^2}\right){\left(\frac{({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{u}_p)({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{v}_{k^{\prime }})}{(k+p{)}^2}\right)}^{*}$	(інтерференція)
	$+e^4{\left|\frac{({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{u}_p)({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{v}_{k^{\prime }})}{(k+p{)}^2}\right|}^2$	(анігіляція)

Член розсіяння (t-канал)

Квадрат матричного елемента

$|ℳ{|}^2$	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}(({\overline{v}}_k{\gamma }^{\mu }{v}_{k^{\prime }})({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\mu }{u}_p){)}^{*}(({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{v}_{k^{\prime }})({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{u}_p))$	$(1)$
	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}(({\overline{v}}_k{\gamma }^{\mu }{v}_{k^{\prime }}{)}^{*}({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\mu }{u}_p{)}^{*})(({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{v}_{k^{\prime }})({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{u}_p))$	$(2)$
	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}\left(\left({\overline{v}}_{k^{\prime }}{\gamma }^{\mu }{v}_k\right)\left({\overline{u}}_p{\gamma }_{\mu }{u}_{p^{\prime }}\right)\right)\left(\left({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{v}_{k^{\prime }}\right)\left({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{u}_p\right)\right)$	$(3)$
	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}\left({\overline{v}}_{k^{\prime }}{\gamma }^{\mu }{v}_k\right)\left({\overline{v}}_k{\gamma }^{\nu }{v}_{k^{\prime }}\right)\left({\overline{u}}_p{\gamma }_{\mu }{u}_{p^{\prime }}\right)\left({\overline{u}}_{p^{\prime }}{\gamma }_{\nu }{u}_p\right)$	$(4)$

Сума за спінами

Далі треба просумувати спіни всіх чотирьох частинок. Позначимо спін електрона як s і s' , а спін позитрона як r і r' .

$\sum _{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}}|ℳ{|}^2$	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}(\sum _{r^{\prime }}{\overline{v}}_{k^{\prime }}{\gamma }^{\mu }(\sum _r{v}_k{\overline{v}}_k){\gamma }^{\nu }{v}_{k^{\prime }})(\sum _s{\overline{u}}_p{\gamma }_{\mu }(\sum _{s^{\prime }}{u}_{p^{\prime }}{\overline{u}}_{p^{\prime }}){\gamma }_{\nu }{u}_p)$	$(5)$
	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}\mathrm{Tr}\left(\right(\sum _{r^{\prime }}{v}_{k^{\prime }}{\overline{v}}_{k^{\prime }}\left){\gamma }^{\mu }\right(\sum _r{v}_k{\overline{v}}_k\left){\gamma }^{\nu }\right)\mathrm{Tr}\left(\right(\sum _s{u}_p{\overline{u}}_p\left){\gamma }_{\mu }\right(\sum _{s^{\prime }}{u}_{p^{\prime }}{\overline{u}}_{p^{\prime }}\left){\gamma }_{\nu }\right)$	$(6)$
	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}\mathrm{Tr}((k{/}^{\prime }-m){\gamma }^{\mu }(k/-m){\gamma }^{\nu })\cdot \mathrm{Tr}((p{/}^{\prime }+m){\gamma }_{\mu }(p/+m){\gamma }_{\nu })$	$(7)$
	$=\frac{e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}(4({k^{\prime }}^{\mu }{k}^{\nu }-(k^{\prime }\cdot k){\eta }^{\mu \nu }+k{\text{'}}^{\nu }{k}^{\mu })+4m^2{\eta }^{\mu \nu })(4({p^{\prime }}_{\mu }{p}_{\nu }-(p^{\prime }\cdot p){\eta }_{\mu \nu }+p{\text{'}}_{\nu }{p}_{\mu })+4m^2{\eta }_{\mu \nu })$	$(8)$
	$=\frac{32e^4}{(k-k^{\prime }{)}^4}((k^{\prime }\cdot p^{\prime })(k\cdot p)+(k^{\prime }\cdot p)(k\cdot p^{\prime })-m^2{p}^{\prime }\cdot p-m^2{k}^{\prime }\cdot k+2m^4)$	$(9)$

Хоча ця формула є точною, у випадку електронів зазвичай досліджують масштаби енергій, які набагато перевищують масу електрона. Нехтування масою електрона тоді дає спрощений вигляд:

$\frac{1}{4}\sum _{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}}|ℳ{|}^2$	$=\frac{32e^4}{4(k-k^{\prime }{)}^4}((k^{\prime }\cdot p^{\prime })(k\cdot p)+(k^{\prime }\cdot p)(k\cdot p^{\prime }))$
	$=\frac{8e^4}{t^2}(\frac{1}{2}s\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}u\frac{1}{2}u)$
	$=2e^4\frac{s^2+u^2}{t^2}$

Член анігіляції (s-канал)

Процес отримання матричного елемента для анігіляції подібний до вищезазначеного. Оскільки дві діаграми перетворюються одна в одну прости поворотом, а частинки початкового та кінцевого стану однакові, достатньо переставити імпульси, що дає

$\frac{1}{4}\sum _{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}}|ℳ{|}^2$	$=\frac{32e^4}{4(k+p{)}^4}((k\cdot k^{\prime })(p\cdot p^{\prime })+(k^{\prime }\cdot p)(k\cdot p^{\prime }))$
	$=\frac{8e^4}{s^2}(\frac{1}{2}t\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}u\frac{1}{2}u)$
	$=2e^4\frac{t^2+u^2}{s^2}$

(Цей результат пропорційний $(1+{\cos }^2\theta )$, де $\theta$ — кут розсіяння в системі центру мас.)

Рішення

Оцінка останнього, інтерференційного члена за тим самим принципом, та додавання трьох членів, дає кінцевий результат:

$\frac{\overline{|ℳ{|}^2}}{2e^4}=\frac{u^2+s^2}{t^2}+\frac{2u^2}{st}+\frac{u^2+t^2}{s^2}$

Див. також

• Меллерівське розсіяння
• Процес Дрелла–Яна
• Комптонівське розсіяння

Список літератури

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Розсіяння Бхабхи на arxiv.org Шаблон:Webarchive