Кінематичні змінні Мандельштама

На цій діаграмі, дві частинки рухаються із імпульсами p₁ і p₂, після взаємодії (розсіяння) розлітаються дві частинки з іншими імпульсами (p₃ і p₄).

Кінематичні змінні Мандельштама — три скалярні релятивістські інваріантні величини, що зберігаються в процесі розсіяння двох елементарних частинок з утворенням двох нових або збереженням двох старих елементарних частинок, або в процесі розпаду однієї елементарної частинки на три. Зазвичай ці змнні позначаються як $s,t,u$. Їх було введено Стенлі Мандельштамом у 1958 році. Процес розсіяння можна повністю описати, якщо задати значення лише двох змінних Мандельштама, кожна із них дорівнюватиме квадрату повної енергії котроїсь із пар частинок у системі відліку, де їх центр мас перебуває в спокої.

Визначення

Розглядається процес розсіяння двох елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу $p_1,p_2$  і утворенням після взаємодії двох нових чи збереження двох старих елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу $p_3,p_4$. Залежність між енергією і масою мають вигляд:

$p_i^2=g_{\mu \nu }{p}_i^{\mu }{p}_i^{\nu }=m_i^2{c}^2$,

де $g_{\mu \nu }$ — метричний тензор.

У метриці Мінковського з сигнатурою (1, -1,-1,-1)

$m_i^2{c}^4=E_i^2-{𝐩}_i^2{c}^2$,

або ж в релятивістських одиницях $(c=1)$:

$m_i^2=E_i^2-{𝐩}_i^2$.

Тут ${𝐩}_i$ — тривимірний імппульс i-тої частинки.

Тут $i=1,2,3,4$ — індекс елементарної частинки. Збереження кожної компоненти енергії-імпульсу представляється рівнянням: $p_1+p_2=p_3+p_4$. Із цієї рівності можна отримати три змінних Мандельштама в релятивістських одиницях:

• $s=(p_1+p_2{)}^2=(p_3+p_4{)}^2$
• $t=(p_1-p_3{)}^2=(p_2-p_4{)}^2$
• $u=(p_1-p_4{)}^2=(p_2-p_3{)}^2$

Властивості

Змінні Мандельштама пов'язані рівністю:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2$.  

Для доведення використаємо дві інші рівності:

• Квадрати 4-імпульсів дорівнюють квадратам мас:

$p_i^2=m_i^2$

• Збереження 4-імпульсу:

$p_1+p_2=p_3+p_4$

$p_1=-p_2+p_3+p_4$

Таким чином:

$s=(p_1+p_2{)}^2=p_1^2+p_2^2+2p_1\cdot p_2$

$t=(p_1-p_3{)}^2=p_1^2+p_3^2-2p_1\cdot p_3$

$u=(p_1-p_4{)}^2=p_1^2+p_4^2-2p_1\cdot p_4$

Просумувавши і підставивши квадрати мас:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2+2p_1^2+2p_1\cdot p_2-2p_1\cdot p_3-2p_1\cdot p_4$

Останні чотири доданки дорівнюють нулю в силу збереження 4-імпульсу:

$2p_1^2+2p_1\cdot p_2-2p_1\cdot p_3-2p_1\cdot p_4=2p_1\cdot (p_1+p_2-p_3-p_4)=0$

Отже:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2$

Діаграми Фейнмана

Літери $s,t,u$ також використовуються в означенні каналів розсіяння $s$-канал (просторовий канал), $t$-канал (часовий канал), $u$-канал. Ці канали відповідають різним діаграмам Фейнмана чи різним можливим типам розсіяння, в якому взаємодія відбувається завдяки обміну проміжними (іноді їх називають віртуальними) частинками, чиї квадрати 4-імпульсів дорівнюють $s,t,u$, відповідно.

$s$-канал	$t$-канал	$u$-канал

:

Наприклад, $s$-канал відповідає розсіянню, в якому частинки 1 і 2 об'єднуються у проміжну частинку, яка врешті розпадається на частинки 3, 4: $s$-канал є єдиним способом виявити резонанси і нові нестабільні частинки за умови, що їхній час життя є достатньо довгим для прямого детектування. $t$-канал відповідає процесу, в якому частинка 1 випромінює проміжну частинку і стає в кінці частинкою 3, в той час як частинка 2 поглинає цю проміжну частинку і стає частинкою 4. $u$-канал — це $t$-канал, у якому частинки 3 і 4 помінялися місцями.

Література

• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
• Perkins, Donald H. (2000). Introduction to High Energy Physics (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.