Оператор Тепліца

У теорії операторів оператор Тепліца — це Шаблон:Нп Шаблон:Нп на колі до простору Гарді.

Деталі

Нехай $S^1$ — комплексне одиничне коло зі стандартною мірою Лебега, а $L^2(S^1)$ — гільбертів простір Шаблон:Нп. Обмежена вимірна функція $g$ на $S^1$ визначає Шаблон:Нп $M_g$ на $L^2(S^1)$ . Нехай $P$ буде проекцією з $L^2(S^1)$ на простір Гарді $H^2$. Оператор Тепліца з символом $g$ визначаємо як

$T_g=P{M}_g{|}_{H^2},$

де « | » означає обмеження.

Обмежений оператор на $H^2$ є тепліцевим тоді й лише тоді, коли у його Шаблон:Нп в базисі $\{z^n,z\in ℂ,n\ge 0\}$ на діагоналях знаходяться сталі.

Теореми

• Теорема: якщо $g$ є неперервною, то $T_g-\lambda$ є оператором Фредгольма тоді й лише тоді, коли $\lambda$ не входить до множини $g(S^1)$. Якщо це оператор Фредгольма, то його індекс є порядком замкнутої кривої, яка простежує $g$ відносно початку координат, взятим з протилежним знаком.

Для доведення див. Шаблон:Нп (1972, стор. 185). Він приписує цю теорему Марку Крейну, Шаблон:Нп та Аллену Девінацу. Це можна розглядати як важливий окремий випадок теореми про індекс Атії–Зінгера.

• Теорема Шаблон:Нп–Шаблон:Нп–Шаблон:Нп: оператор $T_f{T}_g-T_{fg}$ компактний тоді й лише тоді, коли $H^{\mathrm{\infty }}[\overline{f}]\cap H^{\mathrm{\infty }}[g]\subseteq H^{\mathrm{\infty }}+C^0(S^1)$.

Тут $H^{\mathrm{\infty }}$ позначає замкнуту підалгебру алгебри $L^{\mathrm{\infty }}(S^1)$ аналітичних функцій (функцій із нульовими від'ємними коефіцієнтами Фур'є), $H^{\mathrm{\infty }}[f]$ — замкнута підалгебра алгебри $L^{\mathrm{\infty }}(S^1)$, породжена $f$ і $H^{\mathrm{\infty }}$, а $C^0(S^1)$ — простір (як алгебраїчна множина) неперервних функцій на колі.

Див. також

• Матриця Тепліца — матриця зі зсувними рядками

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation. Reprinted by Dover Publications, 1997, Шаблон:Isbn.