Матриця Тепліца

Матриці Тепліца (діагонально-постійна матриця) — матриця, в якій на всіх діагоналях, паралельних головній, стоять однакові елементи.

Названа на честь німецького математика Отто Тепліца.

У загальному вигляді матриця Тепліца розміру $n\times n$ має вигляд:

$A=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \dots & \dots & a_{-n+1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \ddots & & ⋮\\ a_2& a_1& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1}& a_{-2}\\ ⋮& & \ddots & a_1& a_0& a_{-1}\\ a_{n-1}& \dots & \dots & a_2& a_1& a_0\end{array}\right]$

Тобто виконується співвідношення:

$a_{i,j}=a_{i-1,j-1}.$

Зауваження

Дві матриці Тепліца можна скласти за $\mathrm{\Theta }(n)$ операцій. Матрицю Тепліца можна помножити на вектор за $\mathrm{\Theta }(n\log n)$ операцій, а множення матриць Тепліца можна провести за $\mathrm{\Theta }(n^2)$ операцій.

Система лінійних рівнянь виду $Ax=b$ може бути вирішена методом Левінсона за час $\mathrm{\Theta }(n^2)$.

Матриці Тепліца також пов'язані з рядами Фур'є, тому що оператор множення на многочлен з синусів або косинусів, спроектований на скінченновимірний простір, можна представити такою матрицею.

Див. також

• Ганкелева матриця

Посилання

• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray. Шаблон:Webarchive