Марковська властивість

Одиночна реалізація тривимірного броунівського руху для часу 0 ≤ t ≤ 2. Броунівський рух має марковську властивість, оскільки зміщення частинки не залежить від її попередніх зміщень.

У теорії ймовірностей та статистиці термін ма́рковська власти́вість (Шаблон:Lang-en) відноситься до властивості Шаблон:Нп в стохастичного процесу. Його названо на честь російського математика Андрія Маркова.

Стохастичний процес має марковську властивість, якщо умовний розподіл імовірності майбутніх станів цього процесу (обумовлених як минулими, так і поточними станами) залежить лише від поточного стану, а не від послідовності подій, яка передувала йому. Процес із такою властивістю називається марковським процесом (Шаблон:Lang-en). Термін си́льна ма́рковська власти́вість (Шаблон:Lang-en) подібний до марковської властивості, за винятком того, що розуміння «поточного» визначається в термінах випадкової величини, відомої як момент зупину. Обидва терміни «марковська властивість» та «сильна марковська властивість» застосовувалися у зв'язку з особливою властивістю «відсутності пам'яті» експоненційного розподілу.

Термін ма́рковське припу́щення (Шаблон:Lang-en) використовується для опису моделі, в якій передбачається дотримання марковської властивості, наприклад, прихованої марковської моделі.

Марковське випадкове поле (Шаблон:Lang-en) розширює цю властивість на два або більше вимірів, або на випадкові величини, визначені для мережі взаємозв'язаних елементів. Прикладом моделі такого поля є модель Ізінга.

Стохастичний процес Шаблон:Нп, який задовольняє марковську властивість, відомий як марковський ланцюг.

Введення

Стохастичний процес має марковську властивість, якщо умовний розподіл імовірності майбутніх станів цього процесу (обумовлених як минулими, так і поточними станами) залежить лише від поточного стану; тобто, з огляду на теперішнє, майбутнє не залежить від минулого. Процес із цією властивістю називають марковіа́ном (Шаблон:Lang-en), або ма́рковським проце́сом (Шаблон:Lang-en). Найвідомішим марковським процесом є марковський ланцюг. Також добре відомим марковським процесом є броунівський рух.

Визначення

Нехай $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ є ймовірнісним простором з фільтрацією $({ℱ}_s,s\in I)$ для деякої (лінійно впорядкованої) індексної множини $I$, і нехай $(S,𝒮)$ є вимірним простором. Про $(S,𝒮)$-значний стохастичний процес $X=(X_t,t\in I)$, пристосований до цієї фільтрації, кажуть, що він володіє марковською властивістю, якщо для будь-якої $A\in 𝒮$ та будь-яких $s,t\in I$ з $s<t$

$\mathbb{P}(X_t\in A|{ℱ}_s)=\mathbb{P}(X_t\in A|X_s).$

В разі, коли $S$ є дискретною множиною з дискретною сигма-алгеброю, а $I=\mathbb{N}$, це може бути переформульовано наступним чином:

$\mathbb{P}(X_n=x_n|X_{n-1}=x_{n-1},\dots ,X_0=x_0)=\mathbb{P}(X_n=x_n|X_{n-1}=x_{n-1})$.

Альтернативні формулювання

Марковська властивість може мати наступне альтернативне формулювання.

$𝔼[f(X_t)|{ℱ}_s]=𝔼[f(X_t)|\sigma (X_s)]$

для всіх $t\ge s\ge 0$ та обмежених і вимірних $f:S\to ℝ$.

Сильна марковська властивість

Припустімо, що $X=(X_t:t\ge 0)$ є стохастичним процесом на ймовірнісному просторі $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ з природною фільтрацією $\{{ℱ}_t{\}}_{t\ge 0}$. Для будь-якого $t\ge 0$ ми можемо визначити паросткову сигма-алгебру ${ℱ}_{t+}$ як перетин усіх ${ℱ}_s$ для $s>t$. Тоді для будь-якого моменту зупину $\tau$ на $\mathrm{\Omega }$ ми можемо визначити

${ℱ}_{{\tau }^{+}}=\{A\in ℱ:\{\tau =t\}\cap A\in {ℱ}_{t+},\mathrm{\forall }t\ge 0\}$.

Тоді про $X$ кажуть, що він має сильну марковську властивість, якщо для кожного моменту зупину $\tau$, обумовленого подією $\{\tau <\mathrm{\infty }\}$, ми маємо, що для кожного $t\ge 0$, $X_{\tau +t}$ є незалежним від ${ℱ}_{{\tau }^{+}}$ за заданого $X_{\tau }$.

Сильна марковська властивість передбачає звичайну марковську властивість, оскільки сильну марковську властивість може бути зведено до неї взяттям моменту зупину $\tau =t$.

Приклади

Припустімо, що урна містить дві червоні кулі й одну зелену. Одну кулю витягли вчора, одну кулю витягли сьогодні, й останню кулю витягнуть завтра. Всі витягування є «без повернення».

Припустімо, що вам відомо, що сьогоднішня куля була червоною, але ви не маєте інформації про вчорашню кулю. Шанс того, що завтрашня куля буде червоною, складає 1/2. Це тому, що для цього випадкового експерименту лишилося лише два результати:

День	Результат 1	Результат 2
Вчора	Червона	Зелена
Сьогодні	Червона	Червона
Завтра	Зелена	Червона

З іншого боку, якщо ви знаєте, що як сьогоднішня, так і вчорашня кулі були червоними, тоді вам гарантовано отримати завтра зелену кулю.

Ця невідповідність показує, що розподіл імовірності завтрашнього кольору залежить не лише від поточного значення, але знаходиться також і під впливом інформації про минуле. Цей стохастичний процес спостережуваних кольорів не має марковської властивості. При використанні такого ж експерименту, як наведено вище, якщо «вибірку без повернення» замінено «вибіркою з поверненням», процес спостережуваних кольорів марковську властивість матиме.

Застосуванням марковської властивості в узагальненому вигляді є обчислення Монте-Карло марковських ланцюгів у контексті баєсової статистики.

Див. також

• Марковський ланцюг
• Марковське покриття
• Марковський процес вирішування
• Шаблон:Нп
• Марковська модель
• Рівняння Чепмена — Колмогорова

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов