Фільтрація (випадкові процеси)

Фільтра́ція в теорії випадкових процесів - це неспадна множина σ-алгебр.

Визначення

Нехай задано ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ і підмножину дійсної прямої $T\subset ℝ$. Множина σ-алгебр $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$ така, що

${ℱ}_s\subset {ℱ}_t\subset ℱ,s\le t,s,t\in T$,

називається фільтрацією ймовірнісного простору.

Природна фільтрація випадкового процесу

Нехай заданий випадковий процес $\{X_t{\}}_{t\in T}$, визначений на деякому ймовірнісному просторі. Визначимо

${ℱ}_t^X=\sigma \{X_s\mid s\le t,s\in T\},t\in T.$.

Тоді множина ${\left\{{ℱ}_t^X\right\}}_{t\in T}$ є фільтрацією і називається природною фільтрацією випадкового процесу $\{X_t\}$.

Див. також

• Марковський процес
• Мартингал.

Література

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.
• A. N. Shiryayev: Probability. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 3-540-90898-6.