Локальна дзета-функція

Конгруенц-дзета-функція — прототип для побудови важливої L-функції Гассе — Вейля, ряд вигляду

$Z(V,T)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_k}{k}{T}^k\right)$,

побудований на послідовності числа точок $N_k$ афінного або проєктивного многовиду $V$ у скінченних полях.

Локальна дзета-функція $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$. Для неї існує аналог гіпотези Рімана.

Визначення

Нехай $V$ — афінний або проєктивний многовид над скінченним полем ${𝔽}_q$. Конгруенц-дзета-функція многовиду $V$ над ${𝔽}_q$ визначається як формальний степеневий ряд

$Z(V/{𝔽}_q,T)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_k}{k}{T}^k\right)$,

де $\exp (u)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^k}{k!}$, а $N_k$ — число точок $V$, що лежать у ${𝔽}_{q^k}$. Числа $N_k$ скінченні в силу скінченності будь-якого афінного або проєктивного многовиду скінченної розмірності над скінченним полем.

Локальною дзета-функцією називають функцію $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$, тут $p$ — характеристика поля ${𝔽}_q$, $s\in ℂ$ — комплексна змінна.

Приклади

Візьмемо рівняння $x=0$, геометрично це означає, що $V$ — це просто точка. У цьому випадку всі $N_k=1$. Тоді

$Z(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{T^k}{k}\right)=\exp (-\ln (1-T))=\frac{1}{1-T}$

Нехай $V$ — проєктивна пряма $0x=0$ над $F$. Якщо $F={𝔽}_{q^k}$, то $V$ має $N_k=q^k+1$ точку: всі точки поля і нескінченну точку. Отже

$Z(V,T)=\exp (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(qT{)}^k}{k}+\frac{T^k}{k})=\exp (-\ln (1-qT)-\ln (1-T))=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$

Властивості

• $Z(X,T)$ подається у вигляді нескінченного добутку

$Z(X,T)=\prod _x(1-T^{\mathrm{deg}(x)}{)}^{-1},$

де $x$ пробігає всі замкнуті точки $X$, а $\mathrm{deg}x$ — степінь $x$. У разі, якщо $X=V$, яке обговорювалося вище, то замкнуті точки — це класи еквівалентності $x=[P]$ точок $P\in \bar{V}$, де дві точки еквівалентні, якщо вони спряжені над полем $F$. Степінь $x$ — це степінь розширення поля $F$, породженого координатами $P$. Тоді логарифмічна похідна нескінченного добутку $Z(X,T)$ дорівнюваиме твірній функції

$N_1+N_2{t}^1+N_3{t}^2+\cdots$.

• Якщо $E$ — еліптична крива, то в цьому випадку дзета-функція дорівнює

$Z(E/{𝔽}_q,T)=\frac{1-2a_{E}T+q{T}^2}{(1-T)(1-qT)}$

• Якщо $(\mathrm{\forall }k)N_k<C{A}^k$, то $Z(T)$ збігається у відкритому крузі радіуса $R=A^{-1}$.

• Якщо $N_k=N_k^{(1)}+N_k^{(2)}$, причому $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ — відповідні дзета-функції, то $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$.

• Якщо $N_k={\beta }_1^k+...+{\beta }_t^k-{\alpha }_1^k-...-{\alpha }_s^k$, то $Z(T)=\frac{(1-{\alpha }_{1}T)...(1-{\alpha }_{s}T)}{(1-{\beta }_{1}T)...(1-{\beta }_{t}T)}$.

Застосування

L-функція Гассе — Вейля визначається через конгруенц-дзета-функцію так:

$L(V,s)=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod _{p}Z(V/{𝔽}_p,p^{-s})}$

Гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями

Якщо $C$ — проєктивна неособлива крива над $F$, то можна показати, що

$Z(C,T)=\frac{P(t)}{(1-T)(1-qT)},$

де $P(t)$ — многочлен степеня $2g$, де $g$ — рід кривої $C$. Подамо

$P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-{\omega }_{i}t),$

тоді гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями стверджує, що

$|{\omega }_i|=q^{1/2}$

Для локальної дзета-функції це твердження рівносильне тому, що дійсна частина коренів $\zeta (X,s)$ дорівнює $1/2$.

Наприклад, для еліптичної кривої отримуємо випадок, коли існують рівно 2 корені, і тоді можна показати, що абсолютні значення коренів дорівнюють $\sqrt{q}$. Цей випадок еквівалентний теоремі Гассе про оцінку числа точок кривої в скінченному полі.

Загальні формули для дзета-функції

Із формули сліду Лефшеца для морфізму Фробеніуса виходить, що

$Z(X,T)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det (1-T{\mathrm{Frob}}_q|H_c^i(\bar{X},{\mathbb{Q}}_{\ell }){)}^{(-1{)}^{i+1}}.$

Тут $X$ — відділювана схема скінченного типу над скінченним полем ${𝔽}_q$, а ${\mathrm{Frob}}_q$ — геометрична дія Фробеніуса на $\ell$-адичній Шаблон:Нп з компактним носієм $\bar{X}$. Це показує, що дана дзета-функція є раціональною функцією $T$.

Див. також

• Дзета-функції
• Гіпотези Вейля
• Еліптична крива
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга