Конструктивне число

Корінь квадратний з Шаблон:Math дорівнює довжині гіпотенузи у вигляді прямокутного трикутника з довжиною основи Шаблон:Math й, отже, є конструктивним числом.

В геометрії та алгебрі дійсне число Шаблон:Mvar є конструктивним тоді й лише тоді, враховуючи довжину одиничного відрізка (одиницю виміру), відрізок |Шаблон:Mvar| може бути побудований з циркулем та лінійкою з кінцевим числом кроків. Не всі дійсні числа є конструктивними й для опису тих, що є, зазвичай використовуються алгебраїчні методи. Однак для того, щоб використовувати ці методи, корисно спочатку пов'язати точки з конструктивними числами.

Точка в евклідовій площині є конструктивною точкою, якщо вона є або кінцевою точкою даного одиничного відрізка, або точкою перетину двох ліній, визначених раніше отриманими конструктивними точками, або перетин такої лінії з колом, що має отриману раніше конструктивну точку, як центр, що проходить через іншу конструктивну точку, або перетин двох таких кіл. Тепер, вводячи декартові координати таким чином, що одна кінцева точка даного одиничного відрізку є (0, 0), а інша (1, 0), можна показати, що координати конструктивних точок є конструктивними числами.

В алгебрі число конструктивно тоді й лише тоді, коли воно може бути отримано з використанням чотирьох основних арифметичних операцій та вилучення квадратного кореня, але не з коренів вищого порядку, з конструктивних чисел, які завжди включають 0 та 1. Безліч конструктивних чисел можна повністю схарактеризувати мовою теорії поля: конструктивні числа утворюють квадратичне замкнення раціональних чисел: найменше розширення поля, яке закрито під квадратні корені. Це призводить до перетворення геометричних питань про циркуль та лінійку в алгебру. Це перетворення призводить до вирішення багатьох відомих математичних проблем, які не піддавалися розв'язуванню багато століть.

Геометричні визначення

Традиційний підхід до предмета конструктивних чисел має геометричний характер, але це не єдиний підхід. Однак, геометричний підхід дає мотивацію для алгебраїчних визначень і є історичним способом розвитку суб'єкта. Представляючи матеріал таким чином, основні ідеї вводяться синтетично, а потім вводяться координати для переходу до алгебраїчної установки..

Нехай Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar є двома заданими точками в евклідовій площині. Безліч точок, які можуть бути побудовані за допомогою циркуля та лінійки, починаючи з Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar, будемо позначати Шаблон:Mvar та елементи, які будуть називатися конструктивними точками. Висновок,Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar за визначенням, елементи Шаблон:Mvar. Щоб більш точно описати елементи Шаблон:Mvar, зробимо наступні два визначення:

• відрізок прямої, кінцеві точки якого знаходяться в Шаблон:Mvar, називається побудованим відрізком, а
• коло, центр якого знаходиться в Шаблон:Mvar і який проходить через точку Шаблон:Mvar (альтернативно, радіус якої є відстанню між деякою парою різних точок Шаблон:Mvar), називається побудованим колом.

Тоді точки Шаблон:Mvar, крім Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar є:

• перетин двох непаралельних побудованих відрізків (при необхідності розширений),
• точки перетину побудованого кола і побудованого відрізка (якщо це необхідно), або
• точки перетину двох окремих побудованих кіл.

Як приклад, середина побудованого відрізка Шаблон:Mvar є конструктивною точкою. Щоб переконатися в цьому, зауважимо, що побудована окружність Шаблон:Math з центром Шаблон:Mvar і проходить через Шаблон:Mvar, перетинає коло, побудовану Шаблон:Math з центром Шаблон:Mvar і проходить через Шаблон:Mvar в конструктивних точках Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar. Перетин побудованого відрізка Шаблон:Mvar з побудованим відрізком Шаблон:Mvar є бажаною побудованою серединою.

Декартова система координат може бути введена там, де точка Шаблон:Mvar пов'язана з походженням, мають координати Шаблон:Math і точка Шаблон:Mvar пов'язана з Шаблон:Math. Точки Шаблон:Mvar тепер можуть бути використані для зв'язку геометрії та алгебри, а саме, ми визначаємо

•  конструктивно число є координатою конструктивної точки.

Завдяки точці Шаблон:Mvar, 0 та 1 є конструктивними числами. Нехай Шаблон:Mvar — точка в Шаблон:Mvar, тобто конструктивна точка. Якщо Шаблон:Mvar лежить на Шаблон:Mvar- осі, то Шаблон:Mvar — це побудований відрізок, а перша координата Шаблон:Mvar — в абсолютному значенні довжина цього побудованого відрізка. Якщо Шаблон:Mvar не лежить на Шаблон:Mvar- осі то нехай стопах перпендикуляра від Шаблон:Mvar до Шаблон:Mvar- осі бути точкою Шаблон:Mvar. Точка Шаблон:Mvar — побудована точка, так що Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar будуються відрізки. Абсолютними значеннями координат точки Шаблон:Mvar є, отже, довжини побудованих відрізків. Цей процес є оборотним, тому можна використовувати цей пристрій для забезпечення альтернативної характеристики конструктивних чисел, а саме:

• 0 — конструктивне число, будь-яке ненульове дійсне число Шаблон:Mvar — конструктивне число, якщо і тільки якщо Шаблон:Math — довжина побудованого відрізка.

Якщо Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — ненульові довжини побудованих відрізків, то для отримання побудованих відрізків довжин Шаблон:Math, Шаблон:Math (якщо Шаблон:Math), Шаблон:Math та Шаблон:Math можна використовувати елементарні побудови циркулем та лінійкою. Останні два можуть бути виконані з побудовою на основі теореми Фалеса про пропорційні відрізки. Трохи менш елементарна побудова з допомогою цих інструментів на основі Шаблон:Нп і побудувати відрізок довжиною Шаблон:Math від побудованого відрізка довжиною Шаблон:Mvar.

• Побудова за допомогою циркуля та лінійки для конструктивних чисел
• 
  $a\cdot b$ заснована на теоремі Фалеса
• 
  $\frac{a}{b}$ заснована на теоремі Фалеса
• 
  $\sqrt{a}$ заснована на теоремі Лагранжа

Перетворення в алгебру

Якщо Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar є конструктивними числами з Шаблон:Math, то Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, та Шаблон:Math для невідійманого Шаблон:Mvar конструктивне. Таким чином, множина конструктивних дійсних чисел утворює поле. Крім того, оскільки 1 є конструктивною кількістю, всі раціональні числа є конструктивними, а Шаблон:Math, власне, підполе поля конструктивних чисел. Також будь-яке конструктивно число є алгебраїчним числом. Точніше,

• якщо Шаблон:Math є конструктивне дійсне число й Шаблон:Math, тобто кінцева послідовність дійсних чисел Шаблон:Math таким чином, що Шаблон:Math є розширенням з Шаблон:Math ступеня 2. Зокрема, Шаблон:Math для деякого цілого числа Шаблон:Math.

Використовуючи дещо іншу термінологію, дійсне число конструктивне, тоді й лише тоді воно знаходиться в полі у верхній частині кінцевої вежі з квадратичних розширень, починаючи з полем раціональних чисел Шаблон:Math. Точніше, Шаблон:Math є конструктивними тоді й лише тоді, коли існує башта полів

$\mathbb{Q}=K_0\subseteq K_1\subseteq \dots \subseteq K_n,$

де Шаблон:Math в Шаблон:Math і для всіх Шаблон:Math, Шаблон:Math.

Для ще одного формулювання цього результату, на цей раз з використанням геометричного визначення конструктивної точки, нехай Шаблон:Mvar буде непустою множиною точок в Шаблон:Math та Шаблон:Mvar підполем Шаблон:Math, породжених усіма координатами точок Шаблон:Mvar. Якщо точка Шаблон:Math конструктивна з точок Шаблон:Mvar , то градуси Шаблон:Math та Шаблон:Math є ступеня 2.

Використовуючи натуральну відповідність між точкамиШаблон:Math та комплексними числами (а саме, Шаблон:Math) деякі автори вважають за краще висловлювати результати у складному параметрі, визначаючи:

• комплексне число є конструктивним тоді й лише тоді, коли її дійсна та уявна частини конструктивні дійсні числа.

Це може бути показано, способом, аналогічним реальному нагоди, що комплексне число конструктивне тоді й лише тоді, коли воно знаходиться в полі у верхній частині кінцевої вежі комплексних квадратичних розширень, починаючи з поля Шаблон:Math. Точніше, Шаблон:Math є конструктивними тоді й лише тоді, коли існує башта складних полів

$\mathbb{Q}(i)=F_0\subseteq F_1\subseteq \dots \subseteq F_n,$

де Шаблон:Math знаходиться в Шаблон:Math і для всіх Шаблон:Math, Шаблон:Math.

Отже, якщо комплексне число конструктивно, то Шаблон:Math є ступень 2.

Ця алгебраїчна характеристика конструктивних чисел є важливою необхідною умовою конструктивності: якщо Шаблон:Math є конструктивною, то вона алгебраїчна, а її мінімальний незвідний поліном має ступінь 2, що еквівалентно твердженню, що розширення поля 'Шаблон:Math має розмір ступеня 2. Зауважимо, що зворотне помилкове  — це не достатня умова конструктивності, оскільки існують неконструктивні числа Шаблон:Mvar з Шаблон:Math.

Тригонометричні числа

Основна стаття: Тригонометричні числа

Тригонометричні числа — ірраціональні косинуси або синуси кутів, які є раціональними кратними числами Шаблон:Pi. Таке число конструктивно тоді й лише тоді, коли знаменник повністю зменшеної множини є ступень 2 або добуток ступеня 2 з добутку однієї чи більше простих чисел Ферма. Так, наприклад, Шаблон:Math є конструктивним, тому що Шаблон:Math — добуток двох простих чисел Ферма, Шаблон:Math та Шаблон:Math.

Дивіться тут список тригонометричних чисел, виражених у вигляді квадратних коренів.

Неможливі побудови

Хоча дублювання куба неможливо, дублювання квадрата — немає.

Стародавні греки вважали, що деякі будівельні проблеми, вони не могли вирішити, були просто впертий, чи не нерозв'язною. Однак неконструктивність певних чисел доводить, що їх логічно неможливо виконати. (Самі проблеми, однак, вирішуються, і греки знали, як їх вирішувати, без обмежень працюючи тільки з лінійкою та циркулем).

У наступній діаграмі кожен рядок являє собою конкретну стародавню проблему будівництва. Ліва колонка дає назву проблеми. Друга колонка дає еквівалентну алгебраїчному формулюванню проблеми. Іншими словами, розв'язання проблеми є твердженням тоді й лише тоді, коли кожне число в заданому наборі чисел конструктивне. Нарешті, останній стовпець містить простий контрприклад. Іншими словами, число в останньому стовпці є елементом набору в одному рядку, але не конструктивне.

Проблема будівництва	Пов'язаний набір чисел	Контрприклад
Подвоєння куба	$\{\sqrt[3]{x}:x\text{ is constructible}\}$	$\sqrt[3]{2}$ не конструктивне, тому що його мінімальний поліном має ступінь 3 над Q
Трисекція кута	$\{\cos \left(\frac{\arccos x}{3}\right):x\text{ is constructible}\}$	$\cos \left(\frac{\arccos (1/2)}{3}\right)=\cos 20^o$ не конструктивна, тому що $\cos 20^o$ має мінімальний поліном ступеня 3 над Q
Квадратура круга	$\{r\sqrt{\pi }:r\text{ is constructible}\}$	$\sqrt{\pi }$ не конструктивне, тому що вона не є алгебраїчною над Q
Шаблон:Нп	$\{e^{2\pi i/n}:n\in \mathbb{N},n\ge 3\}$	$e^{2\pi i/7}$ не є конструктивними, оскільки 7 не є простим Ферма, а також не є продуктом $2^k$ й одним або декілька простих чисел Ферма

Історія

Народження поняття конструктивних чисел нерозривно пов'язане з історією трьох неможливих побудов циркулем та лінійкою: дублювання куба, трисекція кута, і квадратура кола. Обмеження використання тільки циркуля та лінійки в геометричних побудовах часто приписують Платону через проходження в Плутарху. Згідно Плутарху, Платон дав дублювання проблеми куба (деліанської) проблеми до Евдокса, Архіта й Менехма, який розв'язував проблему з допомогою механічних засобів, отримавши докір від Платона за те, що не розв'язував проблему з використанням чистої геометрії (Plut., Quaestiones convivales VIII. ii, 718ef). Однак, це приписування оскаржується, що пов'язано, частково, з існуванням іншої версії історії (приписується Ератосфену за Шаблон:Нп, яка говорить, що всі три рішення знайдені, але вони були занадто абстрактні, щоб мати практичне значення. Оскільки Шаблон:Нп (близько 450  р. до н. е.) приписується дві побудови за допомогою циркуля та лінійки, Прокл  — цитуючи Евдема (близько 370—300 до н. е.) — коли йому стали доступні інші методи, це призвело до того, що деякі автори висунули гіпотезу про те, що Енопід увів обмеження.

Обмеження на циркуль та лінійку важливе для того, щоб зробити ці побудови неможливими. Наприклад, трисекція кута може бути зроблена багатьма засобами, деякі з яких були відомі древнім грекам квадратриса Гіппія Елідського, то конічні перетини Менехма або маркований лінійка (neusis) Архімеда — всі вони були використані, і ми можемо додати більш сучасний підхід з допомогою складання паперу.

Хоча це не одна з трьох класичних задач на побудову, задача побудови правильних многокутників за допомогою лінійки та циркуля зазвичай розглядається поряд з ними. Греки знали, як будувати правильні Шаблон:Mvar-кутники з Шаблон:Math (для будь-якого цілого Шаблон:Math) або добутку будь-яких двох або трьох з цих чисел, але інші правильні Шаблон:Mvar-кутники вислизали від них. Потім, у 1796 році, вісімнадцятирічний студент Карл Фрідріх Гаусс оголосив у газеті, що побудував правильний 17-кутник лінійкою та циркулем.Побудова Гауса була швидше алгебричною, ніж геометричним; насправді, він фактично не будував многокутник, а показав, що косинус центрального кута є конструктивним числом. Аргумент був узагальнений у своїй книзі 1801 року Disquisitionses Arithmeticae, що дає достатню умову для побудови правильного n-кутника. Гаусс стверджував, але не доводив, що умова також необхідна, і кілька авторів, зокрема, Фелікс Кляйн, [26] також приписують йому цю частину докази. attributed this part of the proof to him as well.

У роботі 1837 р. П'єр Лоран Ванцель довів алгебраїчно, що проблеми

• подвоєння куба та

• трисекції кута

неможливо вирішити, якщо використовувати тільки циркуль та лінійку. У цій же статті він також розв'язав проблему визначення, які правильні многокутники є конструктивними: правильний многокутник конструктивний тоді й лише тоді, коли число його сторін є добутком степеня двійки та будь-якого числа окремих простих чисел Ферма (тобто, необхідні умови, наведені Гаусом)

Спробу доказу неможливості набудувати коло надав Джеймсом Грегорі у Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). вирішити задачу з використанням алгебраїчних властивостей Шаблон:Pi. Лише в 1882 році Фердинанд фон Ліндеман строго довів свою неможливість, поширивши роботу Шарля Ерміта та довівши, що Шаблон:Pi є трансцендентними числами.

Дослідження конструктивних чисел, по суті, було ініційоване Рене Декартом у La Geometrie, додаток до своєї книги «Міркування про метод», опублікований в 1637 році. Проблема старовинної лінійки та циркуля, поставлена Паппом.

Див. також

• Обчислюване число
• Шаблон:Нп
• Побудова за допомогою циркуля та лінійки
• Теорема Гаусса — Ванцеля

Список літератури

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Chris Cooper: Galois Theory Шаблон:Webarchive. Lectures notes, Macquarie University, § 6 Ruler and Compass Constructability, pp. 55-63 Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld
• Constructible Numbers Шаблон:Webarchive at Cut-the-knotШаблон:Ref-en