Квазілінійна корисність

Квазіліні́йна фу́нкція ко́ри́сності (Шаблон:Lang-en) лінійна за одним зі своїх аргументів, зазвичай — за рахунковими грішми (Шаблон:Lang-en). Квазілінійні переваги можна виразити функцією

$u(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1+\theta (x_2,\dots ,x_n)$ ,

де $\theta$ є строго увігнутоюШаблон:Rp. Подібна функція має зручну властивість: маршаллівський попит на блага $x_2,\dots ,x_n$ не залежить від рівня добробуту і, отже, не підпалий ефекту багатстваШаблон:Rp. Відсутність ефекту полегшує аналізШаблон:Rp, що робить квазілінійну корисність популярним засобом моделювання. Більш того, якщо корисність квазілінійна, то компенсувальна варіація доходу, еквівалентна варіація доходу і споживчий надлишок рівніШаблон:Rp. В дизайні механізмів квазілінійна корисність дозволяє агентам здійснювати сторонні платежі.

Визначення в термінах переваг

Відношення переваги $\succsim$ квазілінійне за товаром 1, якщо:

• весь множини байдужості утворюються паралельним зміщенням уздовж осі товару 1. Якщо споживач індиферентний між наборами товарів x і y (x~y), то $(x+\alpha e_1)\sim (y+\alpha e_1),\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ,e_1=(1,0,...,0)$;
• товар 1 має додатну корисність: $(x+\alpha e_1)\succ \left(x\right),\mathrm{\forall }\alpha >0$

Іншими словами, відношення переваги квазілінійне, якщо існує один товар, який рухає множини байдужості, зберігаючи відстані між точками байдужості і нахил у кожній точці. У двовимірному випадку квазілінійність означає, що криві байдужості паралельні.

Визначення в термінах функцій корисності

Якщо функція корисності квазілінійна за товаром 1, то вона набуває форми

$u\left(x\right)=x_1+\theta (x_2,...,x_L)$,

де $\theta$ є функція. У двовимірному випадку це, наприклад, $u\left(x\right)=x_1+\sqrt{x_2}.$.

Квазілінійна форма характерна для таких функцій попиту, які залежать тільки від цін і не залежать від рівня добробуту. Скажімо, якщо

$u(x,y)=x+\theta (y)$

тоді попит на y виводиться з рівняння

${\theta }^{\prime }(y)=p_y$,

так що

$y(p,I)=({\theta }^{\prime }{)}^{-1}(p_y),$,

і цей вираз не залежить від рівня добробуту I.

Непряма функція корисності тоді має виглядШаблон:Rp

$v(p,I)=v(p)+I,$.

Еквівалентність визначень

Кардиналістський і ординалістський підходи до визначення квазілінійної корисності еквівалентні за опуклості споживчої множини і неперервних перевагах, які локально ненасичувані за першим аргументу.

Див. також

• Квазіопукла функція