Графічне позначення Пенроуза

Графічне позначення Пенроуза (позначення на тензорній діаграмі) стану матричного добутку п’яти частинок.

У математиці та фізиці графічне позначення Пенроуза або тензорна діаграма — це (як правило рукописне) візуальне зображення мультилінійних функцій або тензорів, запропоноване Роджером Пенроузом у 1971 році. Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. Нотація була широко вивчена Предрагом Цвітановичем, який використовував її, діаграми Фейнмана та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації класичних груп Лі. Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою теорії представлень до спінових мереж у фізиці та за допомогою груп матриць до діаграм сліду в лінійній алгебрі. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній квантовій теорії, зокрема в станах матричного добутку та квантових схемах .

Інтерпретації

Мультилінійна алгебра

Мовою мультилінійної алгебри кожна фігура представляє мультилінійну функцію. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, композицією функцій.

Тензори

Мовою тензорної алгебри окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає абстрактним верхнім та нижнім індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають згортці за відповідними індексами. Однією з переваг цієї нотації є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від базису.

Матриці

Кожна фігура представляє матрицю, тензорний добуток позначається горизонтально, а множення матриць виконується вертикально.

Зображення спеціальних тензорів

Метричний тензор

Метричний тензор представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.

метричний тензор $g^{ab}$

метричний тензор $g_{ab}$

Тензор Леві-Чивіти

Антисиметричний тензор Леві-Чивіти представлений товстою горизонтальною смужкою з ніжками, спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.

${\epsilon }_{ab\dots n}$

${\epsilon }^{ab\dots n}$

${\epsilon }_{ab\dots n}{\epsilon }^{ab\dots n}$$=n!$

Структурна константа

структурна константа ${{\gamma }_{\alpha \beta }}^{\chi }=-{{\gamma }_{\beta \alpha }}^{\chi }$

Структурні константи ( ${{\gamma }_{ab}}^c$ ) алгебри Лі представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.

Тензорні операції

Згортка індексів

Згортка індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення дельти Кронекера та скалярного добутку:

Дельта Кронекера ${\delta }_b^a$

Скалярний добуток ${\beta }_a{\xi }^a$

$g_{ab}{g}^{bc}={\delta }_a^c=g^{cb}{g}_{ba}$

Симетризація

Симетризація індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.

Симетризація $Q^{(ab\dots n)}$ (де ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$ )

Антисиметризація

Антисиметризація індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.

Антисиметризація $E_{[ab\dots n]}$ (де ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$ )

Визначник

Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.

Визначник $\det 𝐓=\det \left(T_b^a\right)$

Обернена матриця ${𝐓}^{-1}={\left(T_b^a\right)}^{-1}$

Коваріантна похідна

Коваріантну похідну ( $\mathrm{\nabla }$ ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.

Коваріантна похідна $12{\mathrm{\nabla }}_a\left({\xi }^f{\lambda }_{fb[c}^{(d}{D}_{gh]}^{e)b}\right)$$=12({\xi }^f({\mathrm{\nabla }}_a{\lambda }_{fb[c}^{(d})D_{gh]}^{e)b}+({\mathrm{\nabla }}_a{\xi }^f){\lambda }_{fb[c}^{(d}{D}_{gh]}^{e)b}+{\xi }^f{\lambda }_{fb[c}^{(d}({\mathrm{\nabla }}_a{D}_{gh]}^{e)b}))$

Тензорні маніпуляції

Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «тотожностей» тензорних маніпуляцій.

Наприклад, ${\epsilon }_{a...c}{\epsilon }^{a...c}=n!$, де n є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.

Тензор кривини Рімана

Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення

Позначення тензора кривини Рімана

Тензор Річчі $R_{ab}=R_{acb}^c$

Тотожність Річчі $({\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_b-{\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_a){\mathit{\xi }}^d$$=R_{abc}^d{\mathit{\xi }}^c$

Тотожність Б'янкі ${\mathrm{\nabla }}_{[a}{R}_{bc]d}^e=0$

Розширення

Позначення було розширено завдяки спінорам і твісторам .

Дивіться також

• Діаграми Фейнмана
• Мультилінійна алгебра
• Стан матричного добутку
• Тензор
• Тензорні мережі