Поризм Понселе

Поризм Понселе — класична теорема проєктивної геометрії. Названий на честь Жан-Віктора Понселе.

Історія

Поризм Понселе відкрив французький математик Жан-Віктор Понселе в 1812—1814 роках, коли він перебував у полоні в Саратові. Там він написав (переважно) свій трактат про проєктивні властивості фігур, а також трактат з аналітичної геометрії (сім зошитів, виданих згодом — у 1862—1864 роках — під назвою «Шаблон:Lang-fr2»)Шаблон:Джерело.

Окремий випадок для трикутників випливає з теореми Ейлера.

Формулювання

Нехай $A_1{A}_2\dots A_n$ — многокутник з $n$ різними вершинами, вписаний у коніку $C$ та описаний навколо іншої коніки $\mathrm{\Gamma }$. Тоді для будь-яких точок $B_1,B_2$ коніки $C$, таких, що $B_1\ne B_2$ і $B_1{B}_2$ дотикається $\mathrm{\Gamma }$, існує многокутник $B_1{B}_2\dots B_n$, вписаний у $C$ та описаний навколо $\mathrm{\Gamma }$.

Зауваження

• Якщо коніка є колом, многокутники, вписані в одне коло й описані навколо іншого називають біцентричними многокутниками, так що це — особливий випадок поризму Понселе, який можна виразити лаконічно, враховуючи, що кожен біцентричний многокутник є частиною нескінченної множини біцентричних многокутників відносно одних і тих самих двох кілШаблон:Rp.

Алгебричне доведення

Розглянемо множину пар вигляду «точка на зовнішній коніці й дотична, проведена з неї до внутрішньої». Цю множину можна визначити алгебричним рівнянням у добутку проєктивної площини і двоїстої до неї (тобто множини прямих на початковій площині), який є проєктивним завдяки вкладенню Сегре. Зрозуміло, що в загальній конфігурації отриманий алгебричний многовид буде невиродженою кривою. Обчислимо її рід за Шаблон:Не перекладено: цей многовид природно (відображенням забування прямої) проєктується на зовнішній конічний перетин, причому над спільною точкою висітиме два прообрази, і тільки в чотирьох точках — точках перетину конічних перетинів, існування яких гарантується теоремою Безу, — він має один прообраз, тобто він розгалужений у цих чотирьох точках, і лише в них. Отже, ейлерова характеристика накривної кривої дорівнює $2(2-4)+4=0$, тобто крива має рід 1 і, в силу невиродженості, є еліптичною кривою.

Стартуватимемо з якоїсь точки, проводячи дотичні. Маючи виділену точку старту та напрямок обходу, ми отримуємо послідовність пар типу «точка на зовнішній коніці та дотична, проведена з неї до внутрішньої». Зауважимо, що одній невиродженій точці на зовнішній коніці відповідають дві точки на еліптичній кривій (відповідні двом дотичним, що виходять з неї), і сума їх як точок еліптичної кривої дає відображення із зовнішньої коніки в еліптичну криву, яке є відображенням у точку, оскільки може бути піднятим на універсальну накривну — комплексну площину, де, через компактність сфери, воно буде обмеженим і, за теоремою Ліувілля, сталим. Отже, перекидання дотичної, що виходить з однієї точки, задається відображенням $x\mapsto \xi -x$, де $\xi$ — стала. Аналогічно, перекидання точки, що лежить на дотичній, має вигляд $x\mapsto \zeta -x$, а їх композиція, таким чином, має вигляд $x\mapsto \zeta -\xi +x$; але композиція — це побудова наступної сторони ланцюга за попередньою, і замикання ланцюга рівносильне тому, що $\zeta -\xi$ лежить у скруті еліптичної кривої як групи за додаванням, і, отже, не залежить від початкової точки; так само від неї не залежить і порядок скруту, тобто число кроків, за яке ланцюг замкнеться.

Варіації та узагальнення

Теорема Келі

Нехай $f$ — коло $x^2+y^2=1$, а $g$ — еліпс $a{x}^2+b{y}^2=1$. Тоді умова зациклювання ланцюга задається в термінах ряду Тейлора функції $\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)(1+t)}=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\dots$. (Кожен коефіцієнт $c_i$ обчислюється через $a$ і $b$ наприклад, $c_0=ab$.) А саме:

1. Ланцюг Понселе пари $f$ і $g$ зациклюється за $2m+1$ кроків тоді й лише тоді, коли

   $\left|\begin{array}{ccc}{c}_2& \dots & c_{m+1}\\ ⋮& & ⋮\\ c_{m+1}& \dots & c_{2m}\end{array}\right|=0.$

2. Ланцюг Понселе пари $f$ і $g$ зациклюється за $2m$ кроків тоді й лише тоді, коли

   $\left|\begin{array}{ccc}{c}_3& \dots & c_{m+1}\\ ⋮& & ⋮\\ c_{m+1}& \dots & c_{2m-1}\end{array}\right|=0.$

Теорема Шварца

Нехай $A_0{A}_1\dots$ — ланцюг Понселе. Позначимо через ${\ell }_i$ пряму $A_i{A}_{i+1}$ і розглянемо точки перетину $B_{i,j}={\ell }_i\cap {\ell }_j$ . Тоді для будь-якого цілого $k$

1. Усі точки $B_{i,i+k}$ лежать одному конічному перетині.
2. Усі точки $B_{i,k-i}$ лежать одному конічному перетині.

Багатовимірний аналог

Алгебричне підтвердження теореми Понселе спирається на те, що перетин двох квадрик у тривимірному проєктивному просторі — це еліптична крива. 1972 року Шаблон:Нп у своїй дисертації довів узагальнення цього факту. Саме теорема Ріда стверджує, що многовид, який параметризує лінійні

$(n-1)$

-вимірні підпростори в

$(2n+1)$

-вимірному проєктивному просторі, що лежать на перетині двох

$2n$

-вимірних квадрик (за умови, що цей перетин неособливий), є якобієвим многовидом деякої гіпереліптичної кривої (розгалуженого подвійного накриття раціональної кривої). Цю гіпереліптичну криву можна побудувати як геометричне місце

$(n-1)$

-вимірних підпросторів на перетині двох квадрик, які перетинають деякий фіксований

$(n-1)$

-вимірний підпростір, що також лежить на перетині квадрик, за підпростором розмірності не менше

$n-2$

. Якщо ці квадрики зведені до головних осей (тобто мають однорідні рівняння

$z_0^2+z_1^2+\dots +z_{2n+1}^2=0,$

$b_0{z}_0^2+b_1{z}_1^2+\dots +b_{2n+1}{z}_{2n+1}^2=0$

для деяких коефіцієнтів

$b_0,b_1,\dots b_{2n+1}$

), то ця крива біраціонально ізоморфна кривій, заданій рівнянням

$y^2=(x-b_0)(x-b_1)\dots (x-b_{2n+1}).$

Шаблон:Нп зауважив, що закон додавання на такому многовиді можна визначати геометрично. Саме, якщо

$Q$

 — якась квадрика з пучка, породженого нашими двома квадриками (позначимо їх як

$Q_1$

і

$Q_2$

),

$E_1$

і

$E_2$

 — два

$n$

-вимірних підпростори, що лежать на

$Q$

і належать до одного й того ж зв'язного сімейства, і

$E_i$

висікає на перетині двох квадрик два

$(n-1)$

-вимірних підпростори

${\ell }_{i1}$

і

${\ell }_{i2}$

, то додавання однозначно визначається правилом

${\ell }_{11}+{\ell }_{12}={\ell }_{21}+{\ell }_{22}$

(і вибором нуля). Наприклад, якщо

$n=1$

, додавання точок на еліптичній кривій визначається так. Виберемо точку

$O$

як нуль. Для того, щоб додати точки

$A$

і

$B$

, проведемо пряму

$AB$

і розглянемо квадрику з пучка, на якій ця пряма лежить (така квадрика єдина і її можна побудувати, наприклад, як об'єднання січних прямої

$AB$

, що двічі перетинають еліптичну криву). Пряма

$AB$

, як твірна двовимірної квадрики, належить до однопараметричного зв'язного сімейства. Виберемо із цього сімейства пряму

$p$

, що проходить через точку

$O$

. Друга точка перетину прямої

$p$

з еліптичною кривою і буде шуканою сумою

$A+B$

.

Див. також

• Поризм Штейнера — схоже твердження для ланцюжків кіл.
• Теорема Ейлера (планіметрія) включає окремий випадок поризму Понселе для $n=3$.

Література

• Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelet's closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Посилання

• Живий кресленик.
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Шаблон:Книга
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архівна копія від 27 лютого 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архівна копія від 27 квітня 2016 на Wayback Machine, Літня школа «Сучасна математика», 2014 м. Дубна.